Раніше ми вважали, що точки,, і задані (див. Визначення допустимої функції). Але в ряді випадків вони можуть бути невідомими. Тоді розглянемо методику вирішення завдань, в яких необхідно підібрати таку функцію, щоб функціонал брав найменше значення.
Для знаходження п'яти невідомих величин,,, і необхідно п'ять рівнянь.
Функцію можна знайти з рівняння Ейлера (4.6):
Чотири інші невідомі можна знайти з рівності нулю перших похідних:
- для знаходження використовується умова
- для знаходження використовується умова
- для знаходження - умова
- для знаходження - умова
Умови (4.15) - (4.18) називаються умовами трансверсальності.
Методика знаходження,,, і наступна: вирішивши рівняння (4.14) отримуємо функцію з постійними інтегрування і. Підставляючи отриману функцію в умови трансверсальності (4.15) - (4.18), знаходимо постійні інтегрування,, і,.
У ряді завдань потрібно знайти оптимальне рішення в припущенні, що початок і кінець рішення лежать на деяких заданих кривих, тобто
де і - відомі функції, а, - невідомі величини.
Тоді для мінімізації функціоналу необхідно знайти тільки, і, так як постійні інтегрування і задані умовою (4.19). Таким чином, для знаходження трьох невідомих, і необхідно вирішити систему з трьох рівнянь. Запишемо їх.
Оптимальне керування можна визначити з рівняння Ейлера (4.14):
Для знаходження і скористаємося умовами трансверсальності (4.17) і (4.18), записаними з урахуванням (4.19) у вигляді: