Ми ввели три види емпіричних характеристик, призначених для оцінювання невідомих теоретичних характеристик розподілу: емпіричну функцію розподілу, гістограму, вибіркові моменти. Якщо наші оцінки вдалі, різниця між ними і щирими характеристиками повинна прагнути до нуля із зростанням обсягу вибірки. Така властивість емпіричних характеристик називають спроможністю. Переконаємося, що наші вибіркові характеристики такою властивістю володіють.
нехай # 151; вибірка обсягу з невідомого розподілу з функцією розподілу. нехай # 151; емпірична функція розподілу, побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого
# 151; випадкова величина, так як вона є функцією від випадкових величин. Те ж саме можна сказати про гистограмму і вибіркові моменти.
Доказ теореми1. За визначенням 1.
Випадкові величини,, незалежні і однаково розподілені, їх математичне очікування звичайно:
Таким чином, з ростом обсягу вибірки емпірична функція розподілу сходиться (за ймовірністю) до невідомої теоретичної.
Вірний більш загальний результат, що показує, що збіжність емпіричної функції розподілу до теоретичної має «рівномірний» характер.
теорема Гливенко # 151; Кантеллі.
нехай # 151; вибірка обсягу з невідомого розподілу з функцією розподілу. нехай # 151; емпірична функція розподілу, побудована за цією вибіркою. тоді
Більш того, в умовах теорем 1 і Гливенко # 151; Кантеллі має місце збіжність не тільки по ймовірності, але і майже напевно.
Якщо функція розподілу неперервна. то швидкість збіжності до нуля в теоремі Гливенко # 151; Кантеллі має порядок:
нехай # 151; вибірка обсягу з невідомого розподілу з безперервною функцією розподілу, а - емпірична функція розподілу. тоді
де випадкова величина має розподіл Колмогорова з безперервною функцією розподілу
Наступні властивості емпіричної функції розподілу # 151; це добре знайомі нам властивості середнього арифметичного незалежних доданків, що мають, до того ж, розподіл Бернуллі.
У перших двох пунктах затверджується, що випадкова величина має математичне сподівання і дисперсію, яка убуває як. Третій пункт показує, що сходиться до зі швидкістю.
1), тобто # 151; «Не усунуте» оцінка для; 2); 3) якщо, то, тобто # 151; «Асимптотично нормальна» оцінка для; 4) випадкова величина має біноміальний розподіл.
Доказ властивості 1. Зауважимо знову, що має розподіл Бернуллі, тому
1) Випадкові величини,, однаково розподілені, тому де використовується однакова розподіленість?
2) Випадкові величини,, незалежні і однаково розподілені, тому де використовується незалежність?
4) Оскільки (число успіхів в одному випробуванні) має розподіл Бернуллі, чому? то має біноміальний розподіл. чому? а що таке стійкість з підсумовування?
Зауваження 4. Всі визначення, як то: «оцінка», «Незміщеність», «спроможність», «асимптотична нормальність» будуть дані в розділі 2. Але сенс цих термінів повинен бути цілком зрозумілий вже зараз.
Нехай розподіл абсолютно безперервно, # 151; його дійсна густина. Нехай, крім того, число інтервалів угруповання не залежить від. Випадок, коли, відзначений в зауваженні 1. Справедлива
Теорема 4. При для будь-якого
Вправа. Довести теорему 4. за допомогою (1) і ЗБЧ.
Теорема стверджує, що площа стовпчика гістограми, побудованого над інтервалом угруповання, з ростом обсягу вибірки зближується з площею області під графіком щільності над цим же інтервалом.
Вибіркове середнє є несмещенной, заможної і асимптотично нормальною оцінкою для теоретичного середнього (математичного очікування):
1) Якщо, то. 2) Якщо, то при. 3) Якщо і не дорівнює нулю, то.
1). 2) Відповідно до ЗБЧ в формі Хинчина,.
Вибірковий -й момент є несмещенной, заможної і асимптотично нормальною оцінкою для теоретичного -го моменту:
Властивість 3.1) Якщо, то. 2) Якщо, то при. 3) Якщо і не дорівнює нулю, то.
Вправа. Довести властивість 3.
Надалі ми не будемо обговорювати існування відповідних моментів. Зокрема, в перших двох пунктах наступного твердження передбачається наявність другого моменту у випадкових величин, а в третьому пункті # 151; четвертого (дисперсії величини).
1) Вибіркові дисперсії і є заможними оцінками для істинної дисперсії:
. 2) Величина # 151; зміщена, а # 151; несмещенная оцінка дисперсії:
3) Вибіркові дисперсії і є асимптотично нормальними оцінками істинної дисперсії:
1) По-перше, розкривши дужки, корисно переконатися в тому, що