) "/> - імовірнісний простір з певними на ньому випадковими величинами.
Кажуть, що _ ^ "/> сходиться по ймовірності до, якщо 0" alt = "\ forall \ varepsilon> 0" />:
\ Varepsilon) = 0 "alt =" \ lim \ limits_ \ mathbb(| X_n - X |> \ varepsilon) = 0 "/>.
Пояснення і приклад
Дана властивість означає, що якщо взяти величину з досить великим номером, то ймовірність значного відхилення від граничної величини буде невеликою. Однак важливо розуміти, що якщо одночасно (тобто для одного і того ж елементарного результату) розглянути послідовність "/>, то вона не зобов'язана сходитися до значення, взагалі кажучи, ні при якому. Тобто як завгодно далеко можуть знаходитися сильно відхиляються значення, просто їх "не дуже багато", тому ймовірність того, що таке сильне відхилення потрапить в заданому експерименті на конкретно поставлене номер, мала.
Як приклад розглянемо імовірнісний простір, ймовірність - міра Лебега (тобто ймовірність будь-якого інтервалу дорівнює його довжині). Випадкові величини задамо наступним чином: для перших двох розбиваємо на два інтервали) "/> і, 1]" /> і визначаємо рівній 1 на першому інтервалі і 0 на другому, а - навпаки, 0 на першому інтервалі і 1 на другому. Далі беремо наступні чотири величини, ділимо на чотири непересічних інтервалу довжини і задаємо кожну величину рівної 1 на своєму інтервалі і 0 на інших. Потім розглядаємо наступні 8 величин, ділимо на 8 інтервалів і т.д.
В результаті для кожного елементарного результату послідовність значень має вигляд:
послідовність складається з серій довжин, причому в кожної серії на якомусь одному місці (що залежить від обраного елементарного результату) стоїть значення 1, а на інших місцях - нулі.
Випадкові величини, що входять в серію з номером (довжини) приймають значення 1 з імовірністю "/> і значення 0 з ймовірністю" />. З основного визначення випливає, що дана послідовність сходиться по ймовірності до випадкової величиною. При цьому ні при одному значенні послідовність значень не сходиться до, так як в будь-якій послідовності значень як завгодно далеко обов'язково знаходяться віддалені від 0 значення. Однак оскільки довжини серій необмежено зростають, то ймовірність "потрапити" на це значення стає як завгодно малою при виборі елемента послідовності з досить великим номером.
Зауважимо, що замість значення 1 можна вибрати будь-яке інше (в тому числі як завгодно швидко зростаюче з ростом), і тим самим зробити послідовність математичних очікувань X_n "/> довільній (в тому числі необмеженої). Даний приклад показує, що збіжність по імовірності не тягне збіжності математичних очікувань (так само як і будь-яких інших моментів).
Сильніший вид збіжності, який забезпечує збіжність послідовностей значень до граничного - збіжність майже всюди.