Тоді рівняння теплового балансу набуде вигляду
або, підставляючи значення для α1 отримуємо
Для спрощення запису позначимо
Величину і в першому наближенні можна прийняти постійною. Для точних розрахунків весь температурний інтервал від tн до tк слід розбити на кілька ділянок і для кожного з них визначати і по початковій температурі ділянки:
Останній вираз дозволяє перейти до рівняння з одним перерві х.
Запишемо рівняння теплового балансу в диференціальної формі. Для цього покладемо, що за час d τ нафтопродукт охолов на dt і втратив при цьому таку кількість тепла:
У навколишнє середовище повинно надходити така ж кількість тепла, т. Е.
Для трубопроводу, що має хорошу теплоізоляцію, рівняння теплового балансу спрощується
де λіз і δіз - коефіцієнт теплопровідності і товщина теплоізоляції.
Розділивши змінні та проинтегрировав рівняння від tн до tк, отримаємо
Витіснення застиглих нафтопродуктів з трубопроводів
Якщо нафтопродукт в період бездіяльності «гарячого» трубопроводу сильно охолов або застиг, то для нормальної роботи трубопроводу нафтопродукт необхідно витіснити маловязкими рідинами. Витіснення високов'язких нафтопродуктів (що підкоряються закону Ньютона) з горизонтальних трубопроводів можливо при будь-яких напору насосів; питання полягає лише в тривалості процесу витіснення.
Витіснення нафтопродуктів із початковим напругою зсуву σо (для неньютоновскіх рідин), можливо лише при тиску насосів Але, необхідних для подолання σо. Початкова напруга зсуву визначається з умов рівноваги зовнішніх і внутрішніх сил в трубопроводі
Нафтопродукти, що володіють початковим напругою зсуву, рухаються по трубопроводах при так званому структурному режимі, коли центральна частина потоку рухається як тверде тіло, а периферійна - як в'язка рідина при ламінарному режимі. Для спрощення завдання про витіснення застиглих нафтопродуктів при структурному, режимі руху введемо такі припущення:
застиглий і штовхає нафтопродукти рухаються один за іншим подібно поршням;
гідравлічний опір штовхає рідини не враховується, так як в'язкість її у багато разів менше в'язкості застиглого нафтопродукту;
3) змішання нафтопродукту на кордоні розділу відсутня.
Рух застиглого нафтопродукту відбувається відповідно до закону Шведова і Бінгама
Н - напір, створюваний насосами.
У момент часу τ, коли штовхає рідина витіснить застиглий нафтопродукт з ділянки трубопроводу довжиною х, витрата буде дорівнює
де Vо - кінематична в'язкість застиглого нафтопродукту.
З умови нерозривності потоку
Підставивши значення Q і розділивши змінні, отримаємо час витіснення застиглого нафтопродукту з усього трубопроводу довжиною L
Час витіснення нафтопродуктів, що підкоряються закону Ньютона, отримаємо при σо = 0 в рівнянні (6.27). Для цього вираз
представимо у вигляді
і розкладемо його в ряд
Підставивши цей вираз в рівняння (6.27) і зробивши деякі перетворення, отримаємо
Поклавши σо = 0, отримаємо формулу для визначення часу витіснення ньютоновских нафтопродуктів (рідин)
Оскільки штовхає рідина в дійсності врізається клином в застиглий нафтопродукт, а не рухається як поршень, то час витіснення за формулою (6.29) завжди буде більше фактичного. Ця обставина може бути врахована введенням досвідченого поправочний коефіцієнт
де РR-критерій Прандтля, який вираховується для застиглого нафтопродукту.