випадковий процес, к-рий змінює свій стан тільки в випадкові моменти часу, що утворюють зростаючу послідовність. Іноді термін "С. п." відносять до будь-якого процесу з кусочно постійними траєкторіями.
Важливий клас С. п. Утворюють марковские С. п. Марковський процес є С. п. Якщо його перехідна функція P (s, x, t, В) .Таким, що
де Ib (x) - індикатор безлічі Вв фазовому просторі, і виконані умови регулярності, які полягають в тому, що збіжність в (1) рівномірна і ядро q (s, х, В) .удовлетворяет недо-рим вимогам обмеженості і безперервності.
і П (t, х, В) = 0 -в іншому випадку. Введені величини допускають таку інтерпретацію: з точністю до про (Dt) (при) a (t, x) Dt є ймовірність того, що в проміжок часу (t, t + Dt). процес покине стан х; П (f, х, В), коли a (t, x)> 0, є умовна ймовірність попадання процесу в безліч В за умови, що в момент tон залишає стан x.
При виконанні умов регулярності перехідна функція С. п. Дифференцируема по tпрі t> s, no sпрі s
Нехай - безперервний справа строго марковский С. п. Т n - момент n-го стрибка процесу, T0 = 0, Yn = XTn, Sn - час перебування в n-му стані, - момент обриву,, де d - точка поза Е. тоді послідовність (Т п, Yn) .образует однорідну ланцюг Маркова. При цьому якщо X - однорідний марковский процес. то розподіл Sn при заданому Yn = x - показове з параметром l (x).
Природним узагальненням марковських С. п. Є напівмарковських С. п. Для яких брало послідовність (УД) є ланцюгом Маркова, проте час перебування в n-му стані залежить від Yn і Yn + 1 і має довільне розподіл.
Нехай - передбачувана s-алгебра на. Випадкова міра hна зв. передбачуваною, якщо для будь-якої неотрицательной - вимірної функції f процес, де
Нехай m = m (dt, dx) - міра стрибків процесу X, т. Е. Целочисленная випадкова міра на, певна рівністю
При досить широких припущеннях на (виконаних, зокрема, коли Е - повне Сепар-бельнос метрич. Простір з борелевской s-алгеброю
) Існує передбачувана випадкова міра v = v (dt, dx) .Так, що має місце будь-яка з наступних двох еквівалентних умов:
1) для будь-якої неотрицательной -ізмерімой функції f;
2) при будь-яких і процес
Передбачувана випадкова міра v визначена однозначно з точністю до безлічі Р-міри нуль н зв. компенсатором (або дуальної передбачуваною проекцією) m. Можна вибрати такий варіант v, що
Нехай W - простір траєкторій С. п. X, які приймають значення в,
Р 0 - імовірнісна міра. для якої виконано (2). Тоді на знайдеться і притому єдина імовірнісна міра Ртакая, що v є компенсатором m щодо Рі звуження РНА збігається з Р 0. Доказ цього твердження спирається на явну формулу, яка б пов'язала умовні розподілу величин (Т п, Yn) .і компенсатор, к-рий в ряді випадків виявляється більш зручним засобом для опису С. п. С. п. є процесом з незалежними приростами тоді і тільки тоді, коли йому відповідає детермінований компенсатор.
Літ.: [1] Колмогоров А. Н. "Успіхи матем. Наук", 19: (8, т. 5, с.5 - 41; [2] Гихман І. І. Скороход А. В. Теорія випадкових процесів, т. 2, М. 1973; [3] Jасо J. Calcul stochastique et problemes de martingales, B.- [ao], 1979. Ю. М. Кабанов.
Транскріпкія слова: [skachkoobraznyiy protsess]
← стрибка ФУНКЦІЯ - одна з трьох компонент в Лебега розкладанні функції обмеженої варіації.