Ряди, що містять як позитивні, так і негативні члени, називаються знакозмінними.
Нехай дано знакозмінний ряд
Розглянемо знакоположітельний ряд, що складається з модулів членів ряду (4):
Ряд (4) сходиться, якщо сходиться ряд (5). У цьому випадку ряд (4) називається абсолютно збіжним. Якщо ж ряд (4) сходиться, а ряд (5) розходиться, то ряд (4) називається умовно збіжним.
Окремим випадком знакозмінного ряду є Знакозмінні ряд
в якому позитивні і негативні члени слідують один за одним по черзі.
Для Знакозмінні рядів має місце достатній ознака збіжності.
Знакозмінні ряд (6) сходиться, якщо:
1. Послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно убуває, т. Е..
2. Загальний член ряду прямує до нуля, т. Е..
При цьому залишок Rn = S - Sn не перевищує по модулю першого відкидається члена т. Е.
Будемо розглядати ряди, членами яких є статечні функції:
Такі ряди називаються статечними. а числа ai (i = 0, 1, 2, ...) - коефіцієнтами цього статечного ряду.
Безліч тих значень х. при яких статечної ряд (7) сходиться, називається областю збіжності цього статечного ряду.
Число R називається радіусом збіжності ряду (7), якщо при всіх х. задовольняють нерівності. ряд (7) сходиться, а при всіх x. задовольняють нерівності. - розходиться.
Радіус збіжності R визначається за формулою
Інтервал (-R; R) називається інтервалом збіжності ряду (7).
При x = R, x = -R ряд (7) може як сходитися, так і розходитися. Питання про збіжність ряду (7) в цих точках вирішується шляхом додаткових досліджень.
Ряд називається поруч Маклорена для функції f (x).
Наведемо наступні відомі розкладання функцій в ряд Маклорена:
1. область збіжності.
2. sinx = область збіжності.
3. область збіжності.
4. область збіжності (-1; 1).
5. область збіжності (-1; 1].
6. + ..., область збіжності
[-1; 1].
Питання для самоперевірки
1. Що називається числовим рядом, членами ряду? Наведіть приклади.
2. Що ви розумієте під сумою ряду? Який ряд називається збіжним?
3. Сформулюйте ознаку розходження ряду в терміні межі загального члена.
4. Дайте визначення узагальненого гармонічного ряду. За яких р він сходиться?
5. Сформулюйте перший і другий ознаки порівняння. У чому їх спільність і відмінність?
6. Сформулюйте достатню ознаку збіжності Знакозмінні ряду. Як обчислити суму членів Знакозмінні ряду з вказаною ступенем точності?
7. Що називається статечним поруч? Що ви розумієте під точкою збіжності цього ряду?
8. Що називається радіусом збіжності степеневого ряду і як його визначити?
9. Чим відрізняється область збіжності від інтервалу збіжності статечного ряду?
10. Які основні властивості статечних рядів ви знаєте?
11. Що ви розумієте під поруч Маклорена? Як розкласти функції в цей ряд?
12. Які розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена ви знаєте?
Написати статечної ряд по заданому загальному члену
Знайти область збіжності цього ряду.
Рішення. При n = 0 отримуємо вільний член a0 = 1 даного ряду, при n = 1 - член. при n = 2 - член і т. д.
Отримуємо наступний ряд:
Знаходимо радіус збіжності даного ряду. маємо:
Отже, (-7; 7) - інтервал збіжності ряду. Досліджуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності, т. Е. При x = -7,
x = 7.
Нехай x = -7. Тоді статечної ряд набирає вигляду
Так як . то ряд розходиться (достатня умова розбіжність числового ряду).
Нехай x = 7. Отримуємо наступний Знакозмінні ряд:
Цей ряд розходиться, так як не існує межі послідовності 1,0,1,0 ... часткових сум цього ряду.
Таким чином, (-7; 7) - область збіжності даного статечного ряду.
Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, використовуючи розкладання підінтегральної функції в ряд Маклорена.
Рішення. Скористаємося розкладанням функції e x:
Замінивши x на. отримаємо:
Помноживши обидві частини останнього рівності на x. матимемо:
Отримуємо Знакозмінні ряд. За ознакою Лейбніца маємо:
Значить, ряд сходиться. За цією ознакою перший відкидається член по модулю менше un + 1. Якщо un + 1 взяти по модулю меншим, ніж 0,001, то з un + 1 <0,001 следует, что остаток Rn меньше 0,001. Имеем:
Значить, - перший відкидається член.
Таким чином, з точністю до 0,001
4. Завдання 6 і 7
по темі «Звичайні диференціальні рівняння»