Знакозмінні ряд можна записати у вигляді:
Ознака збіжності Знакозмінні ряду (ознака Лейбніца). Знакозмінні ряд сходиться, якщо абсолютні величини його членів монотонно зменшуються, а загальний член прямує до нуля, тобто якщо виконується наступні дві умови: 1) і.
Візьмемо п -у часткову суму сходиться Знакозмінні ряду, для якого виконується ознака Лейбніца
нехай -й залишок ряду. Його можна записати як різниця між сумою ряду S і п -й часткової сумою тобто
Величина оцінюється за допомогою нерівності
сходиться, якщо сходиться ряд
У цьому випадку вихідний ряд називається абсолютно збіжним. Сходиться ряд називається умовно збіжним. якщо ряд розходиться.
Оскільки 2> 1, то ряд розходиться.
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: Застосуємо ознаку Лейбніца. Так як
Отже, виконано першу умову ознаки Лейбніца. Так як
то виконується і друга умова. Значить, цей ряд сходиться.
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: Складемо ряд з абсолютних величин
Цей ряд нескінченно спадна геометрична прогресія п. Отже, даний ряд сходиться, причому абсолютно.
4. Функціональні ряди.
Ряд члени якого - функції від х. називаються функціональними. Сукупність значень х. при яких функції визначені і ряд сходиться, називають областями збіжності функціонального ряду. Кожному значенню з області збіжності Х відповідає певне значення величини .Цю величину називають сумою функціонального ряду і позначають через S (x).
Функціональний ряд виду
де - дійсні числа, називається статечним.
Основна властивість статечних рядів полягає в тому, що якщо статечної ряд сходиться при. то він сходиться (і до того ж абсолютно) при всякому значенні х. задовольняє нерівності (теорема Абеля).
Одним із наслідків теорем Абеля є факт існування для будь-якого статечного ряду інтервалу збіжності. або з центром в точці. всередині якого статечної ряд абсолютно сходиться і поза яким він розходиться. На кінцях інтервалу збіжності (в точках) різні статечні ряди поводяться по-різному: одні сходяться абсолютно на обох кінцях, інші - або умовно сходяться на обох кінцях, або на одному з них умовно сходяться, на іншому розходяться, треті - розходяться на обох кінцях.
Число R називається радіусом збіжності степеневого ряду. В окремих випадках радіус збіжності ряду R може бути дорівнює нулю або нескінченності.
Для відшукання інтервалу і радіуса збіжності статечного ряду можна користуватися одним із таких способів.
1 спосіб. Якщо серед коефіцієнтів ряду немає рівних нулю, тобто ряд містить всі цілі позитивні ступеня різниці х-а. то
за умови, що ця межа (кінцевий або нескінченний) існує.
2 спосіб. Якщо вихідний ряд має вигляд
(Де р- ціле позитивне число: 2,3, ...), то
3 спосіб. Якщо серед коефіцієнтів ряду є рівні нулю і послідовність залишилися в ряді показників статечної різниці будь-яка, то
де - коефіцієнти, відмінні від нуля.
4. спосіб. У всіх випадках інтервал збіжності ряду можна знаходити, застосовуючи безпосередньо ознака Даламбера або ознака Коші ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.
Статечні ряди мають наступну властивість: ряди, отримані почленного дифференцированием і інтеграцією статечного ряду, мають той же інтервал збіжності і їх сума всередині інтервалу збіжності рівні відповідно похідною і інтеграла від суми початкового ряду. якщо
Операцію почленного диференціювання і інтегрування можна зробити над статечним рядом скільки завгодно раз.
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: Ряд є геометричною прогресією зі знаменником q =. Він сходиться, якщо і розходиться, якщо. Отже, проміжок збіжності ряду визначається подвійним нерівністю. Там же результат можна отримати, використовуючи формули (4), (5).
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: В даному випадку маємо при п = 2k-1 і при п = 2k. Для відшукання радіуса збіжності найзручніше використовувати формулу (5).
Досліджуємо ряд на кінцях інтеграла збіжності. Вважаючи. отримуємо числовий ряд
Але Таким чином, при х -2. Отже, область збіжності даного ряду
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: Застосуємо ознаку Коші, вважаючи
Таким чином, ряд сходиться, якщо. тобто
Приклад. Дослідити збіжність ряду
Рішення: Застосовуємо ознака Даламбера, вважаючи
ряд сходиться, якщо. тобто
5. Розкладання функцій в статечні ряди.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Будь-яка функція, нескінченно диференційована в інтервалі тобто . може бути розкладена в цьому інтервалі в сходиться до неї статечної ряд Тейлора
якщо в цьому інтервалі виконується умова
де - залишковий член формули Тейлора (або залишок ряду),
При виходить статечної ряд Маклорена:
Якщо в деякому інтервалі, що містить точку. при будь-якому п виконується нерівність. де М - позитивна постійна, то і функція f (x) разложима в ряд Тейлора.
Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.
Це останнє розкладання має місце
Приклад. Розкласти в ряд за ступенями х функцію
Рішення: Знайдемо значення функції і її похідних при х = 0.
Так як 0 Приклад. Розкласти в ряд за ступенями х функцію Рішення: Продифференцируем функцію п +1 раз: У точці х = 0 знаходимо, а значення f (n + 1) (х) визначаємо в точці х = с. Отримуємо f (0) = 0 ,, Знаходимо залишковий член: Так як при будь-якому х. а величина обмежена, то. Отже, функцію можна представити у вигляді суми ряду Маклорена Приклад. Розкласти в ряд за ступенями х. Рішення: B розкладанні Замінимо х на -х 2; отримаємо Приклад. Розкласти lnx в ряд за ступенями х -1 Рішення: B розкладанні Замінимо х на х - 1; отримаємо Приклад. Розкласти в ряд за ступенями х -2 функцію 1 / х. Рішення: Скористаємося рівністю. Праву частину цієї рівності можна розглядати як суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменникомСхожі статті