Числовий ряд $ \ sum \ limits _ ^ u_ $, члени якого мають довільні знаки (+), (?), Називається знакозмінних поруч.
Розглянуті вище Знакозмінні ряди є окремим випадком знакозмінного ряду; зрозуміло, що не всякий знакозмінний ряд є Знакозмінні. Наприклад, ряд $ 1 \ frac - \ frac + \ frac + \ frac - \ frac - \ frac + \ ldots - $ знакозмінний, але не є Знакозмінні поруч.
Відзначимо, що в знакозмінному ряді членів як зі знаком (+), так і зі знаком (-) нескінченно багато. Якщо це не виконується, наприклад, ряд містить кінцеве число негативних членів, то їх можна відкинути і розглядати ряд, складений тільки з позитивних членів, і навпаки.
Якщо числовий ряд $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ сходиться і його сума дорівнює S, а часткова сума дорівнює $ S_n $. то $ r_ = S-S_ $ називається залишком ряду, причому $ \ mathop \ limits_ r_ = \ mathop \ limits_ (S-S_) = S-S = 0 $, тобто залишок сходиться ряду прагне до 0.
Ряд $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ називається збіжним абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів $ \ sum \ limits _ ^ \ left | u_ \ right | $.
Дослідити на умовну і абсолютну збіжність ряд
Рішення. Даний ряд є знакозмінним, загальний член якого позначимо: $ \ frac \ cdot 9 ^> = u_ $. Складемо ряд з абсолютних величин $ \ sum \ limits _ ^ \ left | u_ \ right | = \ Sum \ limits _ ^ \ frac> $ і застосуємо до нього ознака Даламбера. Складемо межа $ \ mathop \ limits_ \ frac >> $, де $ a_ = \ frac> $, $ a_ = \ frac> $. Провівши перетворення, отримуємо $ \ mathop \ limits_ \ frac >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot n! >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot 9 \ cdot n! >> = \ mathop \ limits_ \ frac = 0 $. Таким чином, ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ left | u_ \ right | = \ Sum \ limits _ ^ \ frac> $ сходиться, а значить, вихідний знакозмінний ряд сходиться абсолютно.Ответ: ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot 9 ^> $ абсолютно сходиться.
Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $.
- Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність. Позначимо $ \ frac \ cdot \ sqrt> = u_ $ і складемо ряд з абсолютних величин $ a_ = \ left | u_ \ right | = \ frac> $. Отримуємо ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ left | u_ \ right | = \ Sum \ limits _ ^ \, \ frac> $ з позитивними членами, до якого застосовуємо граничний ознака порівняння рядів. Для порівняння з рядом $ \ sum \ limits _ ^ a_ = \ sum \ limits _ ^ \, \ frac> $ розглянемо ряд, який має вигляд $ \ sum \ limits _ ^ \, b_ = \ sum \ limits _ ^ \, \ frac> \, $. Цей ряд є поруч Дирихле з показником $ p = \ frac
- Далі досліджуємо вихідний ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов ознаки Лейбніца. Умова 1): $ u_ = (- 1) ^ \ cdot a_ $, де $ a_ = \ frac >> 0 $, тобто цей ряд Знакозмінні. Для перевірки умови 2) про монотонному убуванні членів ряду використовуємо наступний метод. Розглянемо допоміжну функцію $ f (x) = \ frac> $, певну при $ x \ in [0; \, + \ infty) $ (функція така, що при $ x = n $ маємо $ f (n) = \ frac > = a_ $). Для дослідження цієї функції на монотонність знайдемо її похідну: $ f '(x) = \ frac> - \ sqrt >> = \ frac (x + 1) ^> $. Ця похідна $ f '(x) 1 $. Отже, функція $ f (x) = \ frac> $ монотонно убуває при зазначених значеннях х. Вважаючи $ x = n f (n + 1) = a_ $, де $ n = 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \. $. Це означає, що умова 2) виконано. Для перевірки умови 3) знаходимо межа загального члена $ a_ $: $ \ mathop \ limits_ \, a_ = \ mathop \ limits_ \ frac> = \ mathop \ limits_ \ frac + \ frac >> = 0 $, тобто третя умова виконується. Таким чином, для вихідного ряду виконані всі умови ознаки Лейбніца, тобто він сходиться.
Відповідь: ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ умовно сходиться.