Тепер розглянемо такі ряди, знаки членів яких вже зовсім довільні. При цьому знову будемо позначати через a1. a2. a3. самі члени ряду.
Теорема 1. Порівняємо з рядом
складений з абсолютних величин членів даного ряду. Якщо сходиться ряд (40), то сходиться і вихідний ряд (39).
Справді, нехай ряд
є ряд, що складається з усіх позитивних (або рівних нулю) членів нашого ряду (39) [причому їх взаємне розташування таке ж, як і в ряді (39)]. Нехай, далі,
є ряд * абсолютних величин негативних членів ряду (39) (також розташованих в тому порядку, в якому ці члени слідують один за одним у вихідному ряді).
Кожен з лав (41) і (42) виходить з сходиться позитивного ряду (40) шляхом викреслення частини його членів (наприклад, щоб з (40) отримати (41), треба викреслити з (40) числа c1. C2. C3.) . Тому в силу теореми 4 ряди (41) і (42) сходяться. Позначимо їх суми відповідно через B і C.
Позначимо, далі, через An. Bn і Cn часткові суми рядів (39), (41) і (42). Нехай серед чисел
є m (n) невід'ємних і p (n) негативних.
Права частина цієї рівності з ростом n прагне до різниці B - C. Значить, і ліва частина прагне до того ж межі. Теорема доведена.
Зауважимо, що з збіжність ряду (39) не випливає, що сходиться (40). Наприклад, ряд
сходиться (це випливає хоча б з теореми Лейбніца), але ряд, складений з абсолютних величин, будучи гармонійним, розходиться.
Таким чином, вимога збіжності ряду (40) являє собою більш важке вимога, ніж вимога збіжності ряду (39). У зв'язку з цим такий ряд (39), який не тільки сходиться сам, але для якого і ряд абсолютних величин, називається абсолютно збіжним. Якщо ж ряд (39) сходиться, але ряд (40) розходиться, то кажуть, що (39) є ряд неабсолютно сходиться.
рішення деяких завдань
* Вважаємо, що в (39) є безліч позитивних і безліч негативних членів, т. К. Інакше все стає тривіальним.