Знакозмінні ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.
Визначення 2.2. Числовий ряд. члени якого після будь-якого номера мають різні знаки, називається знакозмінних.
Для знакозмінних рядів має місце наступний загальний остаточний признак збіжності.
Теорема 2.2. Нехай дано знакозмінний ряд
Якщо сходиться ряд, складений з модулів членів даного ряду
то сходиться і сам знакозмінний ряд (2.2).
Треба відзначити, що зворотне твердження не так: якщо сходиться ряд (2.2), то це не означає, що буде сходитися ряд (2.3).
Визначення 2.3. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним. якщо ряд, складений з модулів його членів, сходиться.
Знакозмінний ряд називається умовно збіжним. якщо сам він сходиться, а ряд, складений з модулів його членів, розходиться.
Серед знакозмінних рядів абсолютно сходяться ряди займають особливе місце. Такі ряди мають ряд властивостей, які сформулюємо без доведення.
- Якщо ряд абсолютно сходиться і має суму. то ряд, отриманий з нього перестановкою членів, також сходиться і має ту ж суму. що і вихідний ряд (теорема Діріхле).
- Абсолютно збіжні ряди з сумами і можна почленно складати (віднімати). В результаті виходить абсолютно сходиться ряд, сума якого дорівнює (або відповідно).
- Під твором двох рядів і розуміється ряд виду:
Твір двох абсолютно збіжних рядів з сумами і є абсолютно сходиться ряд, сума якого дорівнює.
Таким чином, абсолютно сходяться ряди підсумовуються, віднімаються, перемножуються як звичайні ряди. Суми таких рядів не залежить від порядку записи членів.
У разі умовно збіжних рядів відповідні затвердження (властивості), взагалі кажучи, не мають місця.
Так, переставляючи члени умовно сходиться ряду, можна домогтися того, що сума ряду змінитися. Наприклад, ряд умовно сходиться за ознакою Лейбніца. Нехай сума цього ряду дорівнює. Перепишемо його члени так, що після одного позитивного члена йтимуть два негативних. отримаємо ряд
Сума зменшилася вдвічі!
Більш того, шляхом перестановки членів умовно сходиться ряду можна отримати сходиться ряд із заздалегідь заданою сумою або розходиться ряд (теорема Рімана).
Тому дії над рядами не можна виробляти, не переконавшись у їх абсолютної збіжності. Для встановлення абсолютної збіжності використовують всі ознаки збіжності числових рядів з додатними членами, замінюючи всюди загальний член його модулем.
Приклад 2.1. Дослідити на збіжність ряд.
Рішення. Вихідний ряд знакозмінний. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду, тобто ряд. Так як . то члени східного ряду не більше членів ряду Діріхле. який, як відомо, сходиться. Отже, на підставі ознаки порівняння даний ряд сходиться абсолютно.
Приклад 2.2. Дослідити на збіжність ряд.
Рішення. 1) Даний ряд Знакозмінні. Використовуємо ознака Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови.
Отже, вихідний ряд сходиться.
2) Розглянемо ряд, складений з абсолютних членів. Досліджуємо його на збіжність, використовуючи ознака Даламбера
За ознакою Даламбера ряд, складений з абсолютних членів, сходиться. Значить, вихідний Знакозмінні ряд сходиться абсолютно.
Приклад 2.3. Дослідити на збіжність ряд.
Рішення. 1) Даний ряд Знакозмінні. Використовуємо ознака Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови.
Отже, вихідний ряд сходиться.
2) Розглянемо ряд, складений з абсолютних членів. Досліджуємо його на збіжність, використовуючи граничний ознака порівняння. Розглянемо гармонійний ряд. який розходиться.
Отже, обидва ряди поводяться однаково, тобто ряд, складений з абсолютних членів, теж розходиться. Значить, вихідний Знакозмінні ряд сходиться умовно.
Приклад 2.4. Дослідити на збіжність ряд.
Рішення. Даний ряд Знакозмінні. Використовуємо ознака Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови.
Отже, вихідний ряд розходиться.
Приклад 2.5. Обчислити суму ряду з точністю.
Рішення. Даний ряд Знакозмінні. За ознакою Лейбніца цей ряд є збіжним. Значить, величина відкинутого при обчисленні залишку ряду, який також є Знакозмінні поруч, не перевищує першого відкинутого члена (на підставі слідства з ознаки Лейбніца).
Потрібне число членів знайдемо шляхом підбору з нерівності. При остання нерівність виконується, значить, якщо відкинути в даному ряді всі члени, починаючи з шостого, то необхідна точність буде забезпечена. отже,
3. ФУНКЦІОНАЛЬНІ І
Визначення 3.1. Нехай функції визначені в області. Тоді вираз виду
називається функціональним рядом.
Надаючи певні значення. отримуємо числовий ряд
який може бути як збіжним, так і розбіжним.
Визначення 3.2. Якщо числовий ряд сходиться при. то ряд називається збіжним в точці. а сама точка називається точкою збіжності ряду. Безліч значень. при яких ряд (7.1) сходиться, називається областю збіжності функціонального ряду.
Область збіжності функціонального ряду позначимо. Як правило, область не збігається з областю. а є її підмножиною, тобто .
Приклад 3.1. Знайти область збіжності функціонального ряду
Рішення. Область визначення функцій - це.
Даний ряд є членом геометричній прогресії зі знаменником. Такий ряд сходиться, якщо.
Тому область збіжності досліджуваного ряду є інтервал. Таким чином, .
Оскільки кожному відповідає певна кількість - сума числового ряду, то вказане відповідність визначає функцію. яка називається сумою ряду (3.1) в області. Сума функціонального ряду в області збіжності визначається рівністю
де - -я часткова сума функціонального ряду.
В такому випадку - є -й залишок функціонального ряду. В області збіжності ряду.
Приклад 3.2. Знайти область збіжності і суму функціонального ряду
Рішення. Даний ряд є поруч геометричній прогресії зі знаменником. Отже, цей ряд сходиться при. тобто при всіх . Таким чином, область збіжності.
В області збіжності даного функціонального ряду знайдемо суму. За формулою суми геометричної прогресії при отримуємо
Серед функціональних рядів в математиці і її додатках особливу роль відіграють ряди, членами яких є статечні функції аргументу.
Визначення 3.3. Статечним рядом називається функціональний ряд вигляду
де - постійні числа, звані коефіцієнтами ряду. - фіксоване число.
При отримуємо статечної ряд виду
Ряд (3.2) легко приводиться до ряду (3.3), якщо покласти. Тому при вивченні статечних рядів іноді обмежуються статечним рядом (3.3).
З'ясуємо питання про збіжність степеневого ряду (3.3). Область збіжності цього статечного ряду містить, принаймні, одну точку (ряд (3.2) сходиться в точці).
Про області збіжності статечного ряду можна судити, виходячи з наступної теореми.
Теорема 3.1 (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд (3.3) сходиться в точці. то він абсолютно сходиться при всіх. задовольняють нерівності
Доведення. Розглянемо числовий ряд. який сходиться за умовою. Отже, по необхідному ознакою збіжності. Тому всі члени ряду обмежені в своїй сукупності, тобто існує таке постійне позитивне число. що при всіх має місце нерівність.
Запишемо ряд (3.3) наступним чином:
і складемо ряд з абсолютних членів
В силу встановленого нерівність кожен член тут менше відповідного члена геометричної прогресії зі знаменником:
Якщо. то і прогресія сходиться. Тому сходиться і ряд, складений з абсолютних величин. А значить, абсолютно сходиться ряд (3.3).
Незважаючи на те що . ми не можемо відразу скористатися ознакою порівняння, оскільки в умови теореми не сказано, що ряд в самій точці сходиться абсолютно.
Слідство. Якщо степеневий ряд (3.3) розходиться в точці. то він розходиться і при всіх. задовольняють нерівності