2.3. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ
Теорема 2.9. Нехай функція f (x) диференційована на не-
якому проміжку. Тоді для того, щоб функція f (x) возрас-
тала (спадала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці цього проміжку її похідна була позитивна (негативна).
Відповідно, для того щоб функція була неубивающей (незростаюча) на деякому проміжку, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці цього проміжку її похідна була неотрицательна (непозитивним).
Приклад 2.3.1. Дослідити на монотонність функцію f (x) = x 2 - 6 x + 5.
Рішення. Знайдемо похідну функції f (x). f '(x) = (x 2 - 6 x + 5)' = 2 x - 6.
Прирівняємо похідну до нуля і вирішимо отримане урав-
Розіб'ємо в точці x = 3 область визначення функції (в даному прикладі - це безліч всіх дійсних чисел) на інтер
Обчисливши значення похідної в одній з внутрішніх точок кожного інтервалу, ми визначимо знак похідної на кожному інтервалі. наприклад,
f '(0) = 2 0 - 6 = - 6 <0. f ′ ( 5 ) = 2 5 − 6 = 4> 0.
Відповідно до теореми 2.3.1. на інтервалі (-∞; 3) функ-
ція убуває; на інтервалі (3; + ∞) функція зростає.
Приклад 2.3.2. Дослідити на монотонність функцію
Прирівняємо похідну до нуля і вирішимо отримане урав-
x 2 - 8 x + 15 = 0.
Корінням цього рівняння є числа x 1 = 3 і x 2 = 5. Розіб'ємо в точках x 1 = 3 і x 2 = 5 область визначення
функції (в даному прикладі - це безліч всіх дійсних чисел) на інтервали (ріс.2.3.2).
Зрозумівши значення похідної у внутрішніх точках кожного інтервалу, визначимо знак похідної на кожному інтервалі.
f '(0) = 0 2 - 8 0 + 15 = 15> 0. f' (4) = 4 2 - 8 4 + 15 = - 1 <0.
f '(6) = 6 2 - 8 6 + 15 = 3> 0.
Отже, в силу теореми 2.3.1 функція зростає на множині (-∞; 3) U (5; + ∞); функція спадає на безлічі
Екстремуми функції. Точка x 0 називається точкою локаль-
ного максимуму (мінімуму) функції f (x). якщо в деякій окре-
стності цієї точки (т. е. на інтервалі (x - ε. x + ε). де ε> 0) зна-
чення функції в цій точці f (x 0) є найбільшим (най-
шим). Точки локального максимуму і мінімуму функції називають-
ся точками екстремуму.
Теорема 2.10. (Необхідна умова екстремуму). Нехай функція f (x) неперервна в деякій околиці точки x 0. Для
того, щоб в точці x 0 функція f (x) мала локальний екстремум
(Максимум або мінімум), необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю.
Точка, в якій похідна функції дорівнює нулю (або не існує), називається критичною точкою функції. У критичній точці функція може мати максимум, може мати мінімум, але може не мати ні того ні іншого, т. Е. В цій точці екстремуму може і не бути. Для того, щоб дослідити характер критичної точки, використовуються достатні умови екстремуму.
Теорема 2.11. (Перше достатня умова екстремуму). Нехай x 0 - критична точка функції f (x). Тоді можливі три
1) Якщо в деякому околі точки x 0 зліва від неї похідна f '(x) позитивна, а справа - негативна, то в точці x 0 функція має максимум.