Глава 2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
Звичайний (або простий) критерій Гурвіца враховує тільки крайні випадки xi max і xi min кожної альтернативи:
Він дозволяє врахувати суб'єктивне ставлення застосовує цей критерій ЛПР за рахунок надання цим наслідків різних "ваг". Для цього в розрахунок критерію введений "коефіцієнт оптимізму" λ, 0 ≤ λ ≤ 1. Формула для розрахунку критерію Гурвіца для i -ї альтернативи з коефіцієнтом оптимізму λ виглядає наступним чином:
Якщо результати представляють можливі виграші, то оптимальною визнається альтернатива з максимальним значенням критерію Гурвіца:
Як видно з формули, правильний вибір коефіцієнта оптимізму λ робить істотний вплив на результат застосування критерію. Зупинимося докладніше на логіці підбору λ.
Якщо ОПР налаштований песимістично, то для нього важливіше менше втратити при поганому розвитку подій, нехай навіть це означає не такий великий виграш при вдалому стані. Значить, питома вага найгіршого результату ximin в оцінці альтернативи повинен бути вище, ніж для ximах. Це забезпечується, коли λ знаходиться в межах від 0 до 0.5. виключаючи останнє значення.
При λ = 0 критерій Гурвіца "вироджується" в критерій Вальда і підходить тільки для дуже песимістично налаштованих ЛПР.
Оптимістичний ЛПР, навпаки, орієнтується на кращі результати, так як для нього важливіше більше виграти, а не менше програти. Найбільшу питому вагу в оцінці найкращого результату досягається при λ більше 0.5 і до 1 включно. При λ = 1 критерій Гурвіца стає критерієм "максимакс", який враховує виключно найбільший результат кожної альтернативи.
Якщо у ЛПР немає яскраво вираженого ухилу ні в бік песимізму, ні оптимізму, коефіцієнт λ приймається рівним 0.5.
Приклад застосування критерію Гурвіца
В умовах задачі з п.2.7 (табл.2.2) розглянемо прийняття рішення за критерієм Гурвіца для ЛПР, налаштованого оптимістично (λ = 0.8), і ЛПР-песиміста (λ = 0.3). Порядок дій такий:
1. Знайдемо максимальні xi max і мінімальні xi min результати для кожного проекту:
x1 max = max (45, 25, 50) = 50 x1 min = min (45, 25, 50) = 25
x2 max = max (20, 60, 25) = 60 x2 min = min (20, 60, 25) = 20
2. Розрахуємо величину критерію Гурвіца при заданих значеннях коефіцієнта оптимізму:
3. Порівняємо отримані величини. Оптимальними для кожного ОПР будуть альтернативи з максимальним значенням критерію Гурвіца:
ЛПР-оптиміст (λ = 0.8):
ЛПР-песиміст (λ = 0.3):
Як ми бачимо, вибір оптимальної альтернативи в одних і тих же умовах істотно залежить від відносини ЛПР до ризику. Якщо для песиміста обидва проекти приблизно рівноцінні, то оптиміст, який сподівається на краще, вибере другий проект. Його висока найкраща прибуток (60) при великих значеннях коефіцієнта λ значно підвищує цінність даного проекту за критерієм Гурвіца.
Недоліком звичайного критерію Гурвіца є його "нечутливість" до розподілу результатів між крайніми значеннями. Це може призводити до неправильних рішень. Наприклад, альтернатива А за критерієм Гурвіца з "оптимістичним" коефіцієнтом λ = 0.7 краще альтернативи В. так як:
HА (0.7) = 0.7 × 1000 + (1 - 0.7) × 100 = 730
HВ (0.7) = 0.7 × 950 + (1 - 0.7) × 100 = 695
Однак, якщо подивитися уважніше на можливості, які надає В. то стає помітно, що вона вигідніше. Її "внутрішні" результати (750 і 850) істотно краще, ніж у А (150 і 200). а максимальний виграш лише трохи гірше (950 проти 1000). У реальному житті логічніше було б вибрати В.