Функція. де. називається оборотною на множині. якщо кожному значенню у з безлічі значень функції відповідає єдине значення.
Якщо - оборотна функція, то на безлічі У визначена функція g. яка кожному значенню ставить у відповідність таке, що. тобто визначена. Тому.
Функція g називається зворотною функцією до f.
Функції f і g називаються взаємно зворотними функціями. Графіки взаємно-зворотних функцій f і g симетричні відносно прямої
Якщо функції f і g взаємно протилежні, то і
Для знаходження оберненої функції з рівності виражають х через у (якщо це можливо), а потім переобозначают змінні (через незалежну змінну, через залежну).
Нехай є функцією змінної. а змінна. в свою чергу, є функцією від змінної. тобто і. Тоді функція називається складною функцією (або функцією від функції), якщо область визначення функції містить безліч значень функції. Змінна в цьому випадку називається проміжною змінною.
Будь-яку лінію на координатної площині, яка не має розривів, називають кривою лінією.
Графік функції . який не має розривів, є кривою лінією. Однак не всяка крива лінія є графіком функції (графік функції задається за умови, що кожному значенню відповідає єдине значення).
Кажуть, що функція. . задана неявно рівнянням
де деякий вираз від змінних. за умови
Функцію, задану явно рівнянням. можна привести до виду (2):
(В рівність (3)). Однак, не всяку функцію, задану неявно, можна задати у вигляді. Рівняння (2), не завжди однозначно вирішується щодо змінної у або взагалі не вирішується. Воно задає часто криву лінію, але не графік функції.
Для знаходження точки, що лежить на лінії, яка задається рівнянням (2), необхідно надати змінної деякий числове значення, а потім з рівняння (2) знайти відповідне значення (можливо, кілька значень). Для побудови відповідної кривої надають змінної кілька числових значень, отримаємо безліч точок, що належать шуканої лінії (2). Ці точки слід з'єднати безперервної лінією.
називають параметричними рівняннями лінії, де t - параметр або допоміжна змінна, а й - функції параметра.
Кожному значенню параметра t із заданого проміжку відповідає певні значення х і у (обчислювані за формулами (4)), які і визначають положення точки в системі координат.
Для побудови лінії, заданої параметричними рівняннями, вибирають достатню кількість значень параметра де. обчислюють відповідні значення. Потім будуються точки які потім з'єднуються безперервною лінією.
Щоб від рівнянь (4) перейти до рівняння типу необхідно виключити параметр з рівнянь системи (4).
Приклад 1. Знайти функцію, зворотну даної (якщо вона існує) і побудувати графіки даної функції і їй зворотної в одній системі координат.
Рішення. 1. Функція монотонна, тому для неї існує зворотна функція. Висловимо через:
Позначимо незалежну змінну через. а залежну - через:
Зворотній до заданої функції є функція і вона має вигляд:
Будуємо графіки функції і (рис.1)
2. Так як функція не є монотонною на проміжку. то зворотної функції для неї не існує.
Приклад 2. З рівняння окружності висловити явною через.
Рішення . З рівняння висловимо. звідки отримуємо сукупність двох функцій
Графіком першого рівняння сукупності є півколо у верхній півплощині системи за умови, що.
Графіком другого рівняння сукупності є півкола в нижній півплощині системи за умови, що.
Приклад 3. Побудувати криву, задану параметрично рівняннями
Рішення . Для побудови кривої виберемо достатню кількість значень параметра і обчислимо відповідні значення. Дані занесемо в таблицю: