У класичній механічній системі, яка здійснює періодичне рух з періодом T і залежить від параметра λ, адіабатічность зміни параметра визначається умовою
Функція Гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних і параметра
Внутрішні змінні q і p змінюються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтегралом руху при незмінному параметрі λ. При зміні параметра в часі
При усередненні цього виразу за часом протягом періоду можна вважати, що параметр λ незмінний.
де усереднення визначено як
Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q:
У такому випадку період T дорівнює
де інтегрування проводиться вперед і назад в межах зміни координати за період руху.
Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра, після деяких перетворень можна отримати
Остаточно, можна записати
і буде адиабатическим інваріантом.
Інтеграл. що входить в отриманий вираз, набуває простий геометричний сенс, якщо звернутися до подання про фазовий просторі і фазової траєкторії системи в ньому. В даному випадку система має одну ступінь свободи. тому фазовий простір являє собою фазову площину. утворену безліччю точок з координатами p і q. Оскільки система здійснює періодичне рух, то її фазова траєкторія [2] є замкнутою кривою на цій площині, відповідно, інтеграл береться вздовж цієї замкнутої кривої. У підсумку виходить, що інтеграл ∮ p d q дорівнює площі фігури, обмеженої фазової траєкторією системи.
Площа можна висловити і в вигляді двовимірного інтеграла, тоді для адіабатичного інваріанту буде виконуватися
Приклад. гармонійний осцилятор
Розглянемо як приклад одновимірний гармонійний осцилятор. Функція Гамільтона такого осцилятора має вигляд
де ω - власна (циклічна) частота осцилятора. Рівняння фазової траєкторії в даному випадку визначається законом збереження енергії H (p. Q) = E і тому має вигляд
З рівняння видно, що траєкторія являє собою еліпс з півосями 2 m E >> і 2 E / m ω 2 >>>. відповідно його площа, поділена на 2 π. дорівнює E ω >>. Таким чином, величина I = E ω >> є адіабатичним інваріантом для гармонічного осцилятора. Звідси випливає, що в тих випадках, коли параметри осцилятора змінюються повільно, його енергія змінюється пропорційно частоті.
Властивості адіабатичного інваріанту
Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на 2π.
де ω - циклічна частота.
За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант нової змінної, яка називається змінної дії. У новій системі змінних вона грає роль імпульсу. Канонічно сполучена до неї змінна називається кутовий змінної.