Алгоритм складання (вирахування) алгебраїчних дробів
1. Привести все дроби до спільного знаменника; якщо вони з самого початку мали однакові знаменники, то цей крок алгоритму опускають.
2. Виконати додавання (віднімання) отриманих дробів з однаковими знаменниками.
Приклад 1. Виконати дії:
Рішення. Для кожної пари заданих тут алгебраїчних дробів спільний знаменник був знайдений вище, в уроці "Основна властивість алгебраїчної дробу". Спираючись на вказаний приклад, отримуємо:
.
Найважче в наведеному алгоритмі - це, звичайно, перший крок: пошук спільного знаменника і приведення дробів до спільного знаменника. У прикладі 1 ви цієї проблеми, може бути, не відчули, оскільки ми скористалися готовими результатами з § 2.
Щоб виробити правило відшукання загального знаменника, проаналізуємо приклад 1.
Для дробів і загальним знаменник є число 15 - воно ділиться і на 3 і на 5, є їхнім спільним кратним (навіть найменшим спільним кратним).
Для дробів та спільним знаменником є одночлен. Він ділиться і на і на. т. е. на обидва одночлена, службовці знаменниками дробів. Зверніть увагу: число 12 - найменше спільне кратне чисел 4 і 6. Мінлива входить в знаменник першого дробу з показником 2, в знаменник другого дробу - з показником 3. Це найбільше значення показника 3 фігурує в загальному знаменнику.
Для дробів та спільним знаменником служить твір - воно ділиться і на знаменник і на знаменник.
При знаходженні спільного знаменника доводиться, природно, всі задані знаменники розкладати на множники (якщо це не було підготовлено в умови). А далі йде провести роботу по етапах: знайти найменше спільне кратне для числових коефіцієнтів (мова йде про цілочисельних коефіцієнтах), визначити для кожного кілька разів зустрічається літерного множника найбільший показник ступеня, зібрати все це в один твір.
Тепер можна оформити відповідний алгоритм.
Алгоритм відшукання загального знаменника для декількох алгебраїчних дробів
Розкласти все знаменники на множники (числові коефіцієнти, ступеня змінних, двочлен, Трехчлен).
Знайти найменше спільне кратне для числових коефіцієнтів, наявних в розкладах на множники, складених на першому кроці.
Скласти твір, включивши в нього в якості множників все літерні множники розкладів, отриманих на першому кроці алгоритму. Якщо деякий множник (ступінь змінної, двочлен, тричлен) мається на декількох розкладах, то його слід взяти з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних.
Приписати до твору, отриманого на третьому кроці, числовий коефіцієнт, знайдений на другому кроці; в результаті вийде спільний знаменник.
Перш ніж рухатися далі, спробуйте застосувати цей алгоритм до обгрунтування пошуку спільного знаменника для алгебраїчних дробів з прикладу 1.
Замечаніе.На насправді загальних знаменників для двох алгебраїчних дробів можна знайти скільки завгодно. Наприклад, для дробейіобщім знаменником може бути і число 30, і число 60, і навіть одночлен. Справа в тому, що і 30, і 60, іможно розділити як на 3, так і на 5. Для дробейіобщім знаменником, крім знайденого вище одночлена, може бути ії. Чим же одночленлучше, ніж, ніж? Він простіше (по виду). Його іноді називають навіть не спільним знаменником, а найменшим спільним знаменником. Таким чином, наведений алгоритм - це алгоритм відшукання самого простого із загальних знаменників декількох алгебраїчних дробів, алгоритм відшукання найменшого спільного знаменника.
Знову повернемося до прикладу 1, а. Щоб скласти алгебраїчні дроби і. треба було не тільки знайти спільний знаменник (число 15), а й відшукати для кожної з дробів додаткові множники, які дозволили б привести дроби до спільного знаменника. Для дробу таким додатковим множником служить число 5 (чисельник і знаменник цього дробу помножили додатково на 5), для дробу - число 3 (чисельник і знаменник цього дробу помножили додатково на 3). Додатковий множник є частка від ділення загального знаменника на знаменник даної дробу.
Зазвичай використовують такий запис:
.
Знову повернемося до прикладу 1,6. Спільним знаменником для дробів і є одночлен. Додатковий множник для першого дробу дорівнює (оскільки), для другого дробу він дорівнює 2 (оскільки). Значить, рішення прикладу 1,6 можна оформити так:
.
Вище був сформульований алгоритм відшукання загального знаменника для декількох алгебраїчних дробів. Але досвід показує, що цей алгоритм не завжди буває зрозумілий учням, тому ми дамо кілька видозмінену формулювання.
Правило приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника
Розкласти все знаменники на множники.
З першого знаменника виписати твір всіх його множників, з інших знаменників приписати до цього твору відсутні множники. Отримане твір і буде спільним (новим) знаменником.
Знайти додаткові множники для кожного з дробів: це будуть твори тих множників, які є в новому знаменнику, але яких немає в старому знаменнику.
Знайти для кожного дробу новий чисельник: це буде твір старого чисельника і додаткового множника.
Записати кожну дріб з новим чисельником і новим (загальним) знаменником.
Приклад 2. Спростити вираз.
Рішення.
Перший етап. Знайдемо загальний знаменник і додаткові множники.
маємо
Перший знаменник беремо цілком, а з другого - додаємо множник, якого немає в першому знаменнику. Отримаємо спільний знаменник.
Зручно розташувати записи у вигляді таблиці: