§ 3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Определеніе.Уравненіем прямий з кутовим коефіцієнтом називається рівняння прямої, дозволене щодо х, тобто рівняння виду
Коефіцієнт k при х називається кутовим коефіцієнтом прямої. вільний член h - її початкової ординатою.
Загальне рівняння прямої ах + bу + з = 0 можна записати у вигляді (3.5.1) тоді і тільки тоді, коли в 0, тобто за умови, що дана пряма не паралельна осі ординат. В цьому випадку .
Та обставина, що з кутовим коефіцієнтом можна записати рівняння не будь-якої прямої, є, звичайно, недоліком; його ми проілюструємо в кінці параграфа прикладом 2. Гідність же цього рівняння в тому, що воно містить не три коефіцієнта, як загальне, а тільки два. Ці коефіцієнти k і h мають простий геометричний сенс, який належить з'ясувати. З цією метою введемо нове поняття.
Визначення. Кут, на який треба повернути вісь абсцис в напрямку осі ординат, щоб вона збігалася c даної прямий, називається кутом нахилу прямої до осі абсцис; якщо пряма паралельна осі абсцис або збігається з нею, то кут нахилу вважається рівним нулю.
Ясно, що кут нахилу α укладений в межах.
На рис. 3.11 показані кути нахилу α1 і α2 прямих і.
Теорема (геометричний сенс кутового коефіцієнта і початкової ординати). Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямої; початкова ордината - це ордината точки перетину прямої з віссю ординат.
Доведення. У першій частині теореми потрібно довести, що, де α - кут нахилу прямої. Записавши рівняння цієї прямої у вигляді, по теоремі § 3.2 знаходимо її направляючий вектор:. Далі треба розглянути три можливості.
а). На рис. 3.12 ОА = 1, АМ = k,. З трикутника ОАМ відразу отримуємо:.
Мал. 3.11 Рис. 3.12
б). На рис. 3.13 ОА = 1, АМ = -k,. З трикутника ОАМ маємо:, звідки по формулі привиди ..
в). В цьому випадку, так як пряма паралельна осі абсцис і за визначенням.
Щодо кутового коефіцієнта теорема доведена. Залишилося з'ясувати геометричний сенс початкової ординати h. З цією метою знайдемо координати точки Н, в якій дана пряма перетинає вісь ординат. У цій точці х = 0, тому з рівняння прямої у = h, що й треба було довести.
Завдання. Знайти рівняння прямої, якщо відомі її точка А (х0. У0) і кутовий коефіцієнт k.
Рішення. У рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом (3.5.1) невідома тільки початкова ордината h. Але її легко знайти. Так як точка А лежить на прямій, то, звідки. Підставивши це значення в (3.5.1), отримуємо або
Ми отримали рівняння прямої по точці і кутовому коефіцієнту.
Знання геометричного сенсу кутового коефіцієнта прямої дозволяє вивести формулу кута між прямими, а також умови паралельності і перпендикулярності, відмінні від тих, які були отримані в § 3.3, і в ряді випадків більш зручні.
Нехай дві прямі і з кутами нахилу і та кутовими коефіцієнтами і перетинаються в точці Р (рис. 3.14). Проведемо через цю точку пряму, паралельну осі абсцис. Тоді бачимо, що один з кутів між прямими (на малюнку він позначений) дорівнює різниці кутів нахилу:. Знайдемо тангенс цього кута:. Тангенс суміжного кута буде відрізнятися лише знаком:. Тому остаточно формула кута між прямими має наступний вигляд: