Ні, я все ж до кінця не розумію, в якому сенсі арифметика будується в теорії множин.
Чи не арифметика будується, а її модель.
Про введення нових позначень вже сказали: їх можна вводити скільки завгодно, визначаючи їх значення в термінах теорії множин. Це дає так зване консервативне розширення мови. При бажанні їх завжди можна виключити, просто замінивши їх відповідними визначеннями.
Стандартна схема побудови "стандартної" моделі арифметики наступна.
Визначається теоретико-множинна функція послідовник. яка кожному безлічі ставить у відповідність безліч.
Безліч називається індуктивним. якщо воно задовольняє двом умовам: 1) і 2) якщо, то.
Аксіома нескінченності стверджує, що хоча б одне індуктивне безліч існує.
Доводиться, що існує найменше (в сенсі включення) індуктивне безліч, причому, воно єдине.
Натуральний ряд визначається як найменше індуктивне безліч, а його елементи називаються натуральними числами. Попереднє твердження означає, що символ визначений коректно (має цілком певний сенс).
Елементи зіставляються натуральним числам так:,,,, ...
Доводяться різні схеми визначення по індукції. Наприклад: якщо задані функції і, то існує і єдина функція, що задовольняє умовам 1) і 2).
Далі ми можемо визначити суму і твір.
Для суми ми замість пишемо, беремо і, тобто, визначаємо співвідношеннями 1) і 2).
Аналогічно твір визначається співвідношеннями 1) і 2), тобто, тут і.
Далі доводиться, що виконані всі аксіоми арифметики Пеано.
Простіше кажучи, в ZFC можна довести теорему, що існує безліч (і не одне), для якого виконуються всі аксіоми Пеано.
Точніше, можна визначити безліч і необхідні структури на ньому.
Після докази єдиності найменшого індуктивного безлічі, думаю, вже можна вводити поняття счетності.
Можна, але поняття счетності до арифметики відношення не має.
А щоб визначити кінцівку безлічі, треба висловити через додавання і ввести умову рівнопотужності відрізку натурального ряду.
В описаному побудові кінцеві безлічі - це множини, рівнопотужності натуральним числам. Оскільки натуральні числа і є відрізки натурального ряду. Причому,, так що в даній моделі відношення порядку визначається прямо в теоретико-множинних термінах.
Не пригадаю, щоб мені десь такий спосіб попадався. Стандартно в арифметиці арифметичні операції визначаються індуктивно (в самій математиці Пеано вони повинні бути задані спочатку, так як їх існування довести не можна; в теорії множин існування операцій додавання і множення доводиться).