Завдання 1.4. Нехай тіло кинуто під кутом # 945; до горизонту з початковою швидкістю V0. Потрібно визначити максимальну висоту Н підйому і дальність польоту L.
Почнемо з традиційного питання. Який характер руху тіла в горизонтальному і вертикальному напрямках? Силу тертя об повітря можна не враховувати.
Студент: - На даний тіло діє тільки сила тяжіння. Тому, тіло має прискорення g, спрямоване вниз. Горизонтальна складова швидкості не змінюється. Знайдемо початкові проекції швидкостей:
Почнемо з розгляду вертикальної складової руху. Повний час польоту Т = Т1 + Т2. де Т1 - час підйому, Т2 - час спуску. Вертикальна швидкість в найвищій точці (в момент часу t = Т1) дорівнює нулю. Застосовуючи загальну формулу для равнозамедленно руху, отримаємо
Знак мінус означає, що за позитивне вибрано напрямок осі ОY. Для моменту t = Т1 маємо
Час спуску знайдемо, розглянувши падіння тіла з уже обчисленої висоти Н. але без початкової вертикальної швидкості. Величина переміщення уздовж осі ординат в цьому випадку дорівнює
Бачимо, що час спуску одно часу падіння. А повне час у дорозі -
Розглянемо горизонтальну складову руху. Як уже зазначалося, горизонтальне переміщення тіла рівномірний.
Студент: - Кут прицілу знаходиться з (1.7)
Значить, стріляти треба під кутом
Крім того, можна помітити, що максимальна дальність виходить в разі, коли sin 2 # 945; = 1, т. Е. # 945; = π / 4.
Стріляти можна двома способами. Якщо кут прицілу менше 45 º. то говорять про настильній траєкторії, а якщо він більше 45 º. то таку траєкторію називають навісний.
Студент: - А як можна встановити вид траєкторії польоту? У школі нам говорили, що вона параболічна. Чи можна це обгрунтувати?
Виключаючи час за допомогою першого виразу, отримаємо:
Y = -gX 2 / (2V0 2 cos 2 # 945;) + Xtg # 945; (1.8)
Це і є рівняння параболи з гілками, спрямованими вниз.
Студент: - Але для запису залежності координати Y від часу Ви використовували формулу для равнозамедленно руху. Однак під час спуску тіло рухається, прискорюючись.
Тепер кілька усложним ситуацію.
Завдання 1.5. На тіло масою М, також кинуте під кутом до горизонту, діє такий попутний горизонтальний вітер, що створює прискорення а. Знайдіть час польоту Т, висоту Н і дальність L.
Студент: - По-моєму, вертикальний рух зовсім не змінилося, і можна скористатися деякими попередніми результатами. Але в горизонтальному напрямку тіло відчуває прискорення а.
т. к. ці величини визначаються тільки особливостями вертикального руху.
Студент: - Знаючи горизонтальне прискорення і повний час польоту, знаходимо дальність:
◄L = V0 cos # 945; · T + aT 2/2 = V0 2 sin2 # 945; (1+ tg # 945;) / g ►.
Тіло кидають під кутом # 945; до нахиленій площині, яка утворює з горизонтом кут # 946 ;. Початкова швидкість - V0. Знайти відстань L від точки кидання до точки падіння тіла.
Студент: - Мені здається, що це складне завдання.
Ми звели задачу до попередньої. Але, на відміну від неї, тут прискорення по осі ОХ викликається не вітром, а складової сили тяжіння gsin # 946 ;. Прискорення по осі ОY - силою gcos # 946 ;. Для визначення L скористаємося вже отриманим результатом, зробивши заміну: a → gsin # 946; і g → gcos # 946 ;. знаходимо
при # 946; = 0 цей результат збігається з попереднім відповіддю.
На закінчення проведемо дослідження "кордонів поразки".
Завдання 1.7. Як випливає стріляти, припустимо, з рушниці, щоб потрапити в ціль, що знаходиться на відстані l по горизонталі і на висоті h?
Для початку дайте відповідь, скільки може бути способів стрільби?
Студент: - Ми вже зустрічалися з ситуацією, коли мішень перебувала на осі ОХ. і зрозуміли, що можливі дві траєкторії польоту: настильна і навісна. Можливо, це поширюється і на інші випадки.
Студент: - На це питання я можу відповісти відразу. Стріляти треба так, щоб найвища точка траєкторії кулі збіглася з координатами мішені (l, h). Отримуємо систему рівнянь:
Розділивши ліві і праві частини рівнянь, отримаємо:
висловивши sin 2 # 945; через значення tg # 945; = 2h / l, знайдемо початкову швидкість.
Студент: - Мені здалося, це дуже природно.
Студент: - Підставляю замість Y значення h. а в якості Х беру l. отримую
h = -g l 2 / (2V0 2 cos 2 # 945;) + l tg # 945 ;.
Студент: Нехай tg # 945; = Z. тоді рівняння прийме вигляд:
Помножимо це рівняння на V0 2 / l:
Якщо D> 0, то при даній початковій швидкості куля може потрапити в ціль двома способами. при D <0 пуля вообще не попадет в цель, т. е. ни одна из траекторий семейства (1.8) не достигает этой цели. Равенство дискриминанта нулю определяет ту минимальную начальную скорость, при которой ещё можно попасть в данную цель, т. к. D(V0 2 ) – монотонно возрастающая функция при V0 2> gh:
Для можливих кутів пострілу отримуємо вирази
Студент: - Zкр = tg # 945; кр = V 2 min / gl = +. Це дійсно відрізняється від того, що я писав раніше.
Студент: - Я підставлю значення h = 500 і l = 500 в (1.9), якщо мінімальна швидкість вийде менше 200 м / с. то куля потрапить у мішень.
Висновок: швидкість цілком достатня, щоб куля потрапила в таку мету.
Ця формула визначає найбільшу висоту мети, що знаходиться на відстані l від рушниці, в яку ще можна потрапити при цьому значенні V0. Тому на моє запитання про попадання кулі в конкретному випадку можна відповісти, підставивши l і V0 в (1.10). Якщо вийде значення, яка дорівнює або перевищує 500 м. То куля потрапить. В іншому випадку - ні. Перевірте свій висновок по цій формулі.
Студент. - 4 х 10 4/20 - 25 х 10 5/8 × 10 4 = 2 · 10 3 - 125/4> 500. Висновок підтвердився.
Нільс Бор з дружиною і молодим фізиком Казимиром поверталися пізно ввечері з гостей. Казимир був завзятим альпіністом і з задоволенням розповідав про скелелазіння, а потім запропонував продемонструвати свою майстерність, обравши для цього стіну будинку, повз якого вся компанія в той момент проходила. Коли він, чіпляючись за виступи, піднявся вже вище другого поверху, за ним, Раззадорившись, рушив Бор. Маргарита Бор з тривогою спостерігала за ними знизу. В цей час почулися свистки, і до дому підбігло кілька поліцейських. Будівля опинилася відділенням банку.