Басейни Ньютона для полінома п'ятого ступеня p (x) = x 5 - 1 -1>. Різними кольорами зафарбовані області тяжіння для різних коренів. Більш темні області відповідають більшій кількості ітерацій
Цей термін має також інші значення див. Басейн.
Басейни Ньютона. фрактали Ньютона - різновид алгебраїчних фракталів.
Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних. Який, в даному випадку, узагальнюється для комплексної площині) [1].
Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля функції комплексної змінної. використовуючи процедуру:
Вибір початкового наближення z 0> представляє особливий інтерес. Так як функція може мати кілька нулів, в різних випадках метод може сходитися до різних значень. Однак, що за області забезпечать відповідність до тієї чи іншої корені?
Це питання зацікавило Артура Келі ще в 1879 році. проте дозволити його змогли лише в 70-х роках двадцятого століття з появою обчислювальної техніки. Виявилося, що на перетинах цих областей (їх прийнято називати областями тяжіння) утворюються так звані фрактали - нескінченні самоподібні геометричні фігури.
З огляду на те, що Ньютон застосовував свій метод виключно до поліномами. фрактали, утворені в результаті такого застосування, здобули назву фракталів Ньютона або басейнів Ньютона.
Воно має три кореня. При виборі різних z 0> процес буде сходиться до різних коренів (областям тяжіння). Артур Келі поставив завдання опису цих областей, кордони яких, як виявилося, мають фрактальну структуру.
За такою формулою: