Басейни Ньютона для полінома п'ятого ступеня p (x) = x 5 - 1. Різними кольорами зафарбовані області тяжіння для різних коренів. Більш темні області відповідають більшій кількості ітерацій
Басейни Ньютона. фрактали Ньютона - різновид алгебраїчних фракталів.
Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних. Який, в даному випадку, узагальнюється для комплексної площині). [1]
Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля функції комплексної змінної, використовуючи процедуру:
Вибір початкового наближення представляє особливий інтерес. Оскільки функція може мати кілька нулів, в різних випадках метод може сходитися до різних значень. Однак, що за області забезпечать відповідність до тієї чи іншої корені?
1. Історія
Це питання зацікавило Артура Келі ще в 1879 році, проте дозволити його змогли лише в 70-х роках двадцятого століття з появою обчислювальної техніки. Виявилося, що на перетинах цих областей (їх прийнято називати областями тяжіння) утворюються так звані фрактали - нескінченні самоподібні геометричні фігури.
З огляду на те, що Ньютон застосовував свій метод виключно до поліномами, фрактали, утворені в результаті такого застосування, здобули назву фракталів Ньютона або басейнів Ньютона.
2. Три кореня
Воно має три кореня. При виборі різних z0 процес буде сходиться до різних коренів (областям тяжіння). Артур Келі поставив завдання опису цих областей, кордони яких, як виявилося, мають фрактальну структуру.
3. Побудова
За такою формулою:
література
Примітки
- Фрактал Ньютона - www.fractalworld.xaoc.ru/Newton_fractal