Лінійно-незалежні вектори утворюють базис для будь-якого безлічі векторів, якщо будь-який вектор з цієї безлічі може бути представлений у вигляді деякої лінійної комбінації цих векторів.
Оскільки будь-який вектор на площині може бути розкладений по двом неколінеарна векторах, а будь-який вектор в просторі - за трьома некомпланарних векторах, то будь-які два неколінеарних вектора утворюють базис на площині, а будь-які три некомпланарних вектора - базис в просторі.
Нехай якась трійка векторів e1. e2. e3 утворює базис в просторі. Тоді будь-який вектор простору можна розкласти і притому єдиним чином з цього базису:
Значення координат полягає в тому, що операції над векторами зводиться до дій над числами. Нехай вектори a і b задані своїми координатами в одному і тому ж базисі:
Тоді при додаванні векторів будуть складатися їх відповідні координати, при множенні вектора на число все його координати множаться на це число:
Приклад 7.1. У параллелограмме ABCD сторона BC розділена точкою K так, що 3 | BK | = 5 | KC |, а сторона CD - точкою M так, що | CM | = 4 | MD | (Див. Рис.7.1). Розкласти вектор по векторах і, або, по-іншому, знайти координати вектора в базисі векторів a і b.
Рішення. За правилом додавання векторів можна написати
Рішення . Розкладання має вигляд
де e1. e2. e3 - якийсь фіксований базис. Оскільки цей базис складається з лінійно незалежних векторів, то коефіцієнти при цих векторах повинні дорівнювати нулю. Звідси отримуємо систему лінійних рівнянь
Таким чином, шукане розкладання має вигляд
Ознака коллинеарности векторів в координатної формі прийме наступний вигляд: два вектораaіbколлінеарни тоді і тільки тоді, коли пропорційні їх відповідні координати:
З умови пропорційності