Числовим рядом називається вираз виду
де - дійсні або комплексні числа, звані членами ряду. - загальним членом ряду.
Ряд вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду, виражений як функція його номера n. .
Сума перших n членів ряду називається n -й часткової сумою ряду і позначається через, тобто
Якщо існує кінцевий межа послідовності часткових сум ряду, то ця межа називають сумою ряду і кажуть, що ряд сходиться. записують:
Якщо не існує або =, то ряд називають розбіжним. Такий ряд суми не має.
Розглянемо деякі важливі властивості рядів:
Властивість 1. Якщо ряд збігається і його сума дорівнює S. то ряд
де с - довільне число, також збігається і його сума дорівнює cS. Якщо ж ряд розходиться і, то і ряд розходиться.
Позначимо n -ю часткову суму ряду через. тоді
тобто ряд сходиться і має суму cS.
Покажемо тепер, що якщо ряд розходиться,, то і ряд розходиться. Припустимо гидке: ряд сходиться і має суму.
тобто ряд сходиться, що суперечить умові про розбіжність ряду.
Властивість 2. Якщо сходиться ряд і сходиться ряд
А їх суми рівні і відповідно, то сходяться і ряди
причому сума кожного дорівнює відповідно.
Позначимо n -е часткові суми рядів, і через, і відповідно. тоді
тобто кожен з лав сходиться, і сума його дорівнює відповідно.
З властивості 2 випливає, що сума (різниця) сходиться і розходиться рядів є розходиться ряд.
Властивість 3. Якщо до ряду додати (або відкинути) кінцеве число членів, то отриманий ряд і ряд сходяться або розходяться одночасно.
Позначимо через S суму відкинутих членів, через k - найбільший з номерів цих членів. Щоб не міняти нумерацію решти членів ряду, будемо вважати, що на місці відкинутих членів поставили нулі. Тоді при n> k буде виконуватися рівність, де - це n-я часткова сума ряду, отриманого з ряду шляхом відкидання кінцевого числа членів. Тому
+ . Звідси випливає, що межі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд сходиться (розходиться) тоді і тільки тоді, коли сходяться (розходяться) ряди без кінцевого числа його членів.
Аналогічно міркуємо в разі приписування до ряду кінцевого числа членів.
називається n -м залишком ряду. Він виходить з ряду відкиданням n перших його членів. Ряд виходить із залишку додаванням кінцевого числа членів. Тому, відповідно до властивості 3, ряд і його залишок =
одночасно сходяться чи розходяться.
З властивості 3 також випливає, що якщо ряд сходиться, то його залишок прагне до нуля при, тобто
Ряд геометричній прогресії
Досліджуємо збіжність ряду
який називається рядом геометричної прогресії. Ряд часто використовується при дослідженні рядів на збіжність.
Як відомо, сума перших n членів прогресії знаходиться за формулою. Знайдемо межа цієї суми:
Розглянемо наступні випадки в залежності від величини q:
Якщо, то при. Тому, ряд сходиться, його сума дорівнює;
Якщо. то при. Тому, ряд розходиться;
Якщо. то при q = 1 ряд набирає вигляду
a + a + a + ... + a + ..., для нього і, тобто ряд
розходиться; при q = -1 ряд набирає вигляду
а - а + а - а +. - в цьому випадку при парному n і при непарному n. Отже, не існує, ряд розходиться.
Необхідна ознака збіжності числового ряду.
Знаходження n -й часткової суми і її межі для довільного ряду в багатьох випадках є непростим завданням. Тому для з'ясування збіжність ряду встановлюють спеціальні ознаки збіжності. Першим з них, як правило, є необхідний ознака збіжності.
Якщо ряд сходиться, то його загальний член прямує до нуля, тобто .
Нехай ряд сходиться і. Тоді і. З огляду на, що при n> 1. отримуємо:
Слідство (достатня умова розбіжність ряду)
Якщо чи ця межа не існує, то ряд розходиться.
Дійсно, якби ряд сходився, то (по теоремі). Але це суперечить умові. Значить, ряд розходиться.
Теорема про збіжність дає необхідна умова збіжності ряду, але не достатня: з умови не випливає, що ряд сходиться. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких.
Як приклад розглянемо так званий гармонійний ряд
Очевидно, що . Однак ряд розходиться.
Як відомо, . Звідси випливає, що при будь-якому має місце нерівність. Логаріфміруя це нерівність по підставі е. Отримаємо:
Підставляючи в отримане нерівність по черзі n = 1, 2, ..., n - 1, n. отримаємо:
Склавши почленно ці нерівності, отримуємо. Оскільки. отримуємо, тобто гармонійний ряд розходиться.
Достатні ознаки збіжності знакопостоянного рядів.
Необхідна ознака збіжності не дає можливості судити про те, чи сходиться даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду в багатьох випадках можна встановити за допомогою так званих достатніх ознак.
Розглянемо деякі з них для знакоположітельних рядів, тобто рядів з невід'ємними членами.
Ознаки порівняння рядів.
Збіжність або розбіжність знакоположітельного ряду часто встановлюють шляхом порівняння його з іншим рядом, про який відомо, сходиться він чи ні. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
Нехай дано два знакоположітельних ряду
Якщо для всіх n виконується нерівність
то з збіжність ряду слід збіжність ряду, з розбіжність ряду слід расходимость ряду.
Позначимо n -е часткові суми рядів і відповідно через і. З нерівності випливає, що
Нехай ряд збігається і його сума дорівнює. Тоді. Члени ряду позитивні, тому і, отже, з урахуванням нерівності. таким чином, послідовність () монотонно зростає () і обмежена зверху числом. За ознакою існування межі послідовність має межу, тобто ряд сходиться.
Нехай тепер ряд розходиться. Так як члени ряду невід'ємні, в цьому випадку маємо. Тоді з урахуванням нерівності отримуємо, тобто ряд розходиться.
Теорема2 (граничний ознака порівняння)
Нехай дано два знакоположітельних ряду і. Якщо існує кінцевий, відмінний від 0, межа, то ряди сходяться або розходяться одночасно.
За визначенням границі послідовності для всіх n. крім, можливо, кінцевого числа їх, для будь-якого виконується нерівність, або.
Якщо ряд сходиться, то з лівого нерівності і теореми1 випливає, що ряд також сходиться. Але тоді, згідно свойству1 числових рядів, ряд сходиться.
Якщо ряд розходиться, то з правого нерівності, теореми1, властивості 1 випливає, що ряд розходиться.
Аналогічно, якщо ряд сходиться (розходиться), то що сходяться (що розходяться) буде і ряд.
Схожі роботи:
Чісловойряд
чісловойряд .Сходімость ряду .св-ва сходяться рядовЧісловойряд - нескінченна послідовність чисел поєднана знаком +. Ряди. 1. F (x) визначена на всій числовій прямій R; 2.F (x) не убуває. ряду являє собою ламану соед точками Xi Ni 40 Числові.
Ряди Фур'є та їх застосування (2)
Дипломна робота >> Математика
проміжку функція f (x) розкладається в тригонометричний ряд. Ряд (1) сходиться в деякій точці х0. чісловойряд. складений з коефіцієнтів даного тригонометричного ряду. абсолютно сходиться, т. е. сходиться позитивний чісловойряд [pic] (3) Ряд.
Числові ряди Збіжність и розбіжність Сума ряду Дії над збіжнімі рядами Необхідна ознака збіж
чисел виразі (13.1) назівається чісловімрядом. При цьом числа назіваються членами. сума ряду за окреслений суми ряду Теорема 1. На збіжність чісловогоряду ні.
Функціональний ряд область его збіжності Cтепеневі ряди Теорема Абеля Інтервал и радіус збі
нерівностям (13.28) и чісловійряд (13.29) збігається. всій чісловій осі, а чісловійряд збігається, то Сейчас. збіжності степеневих ряду может буті вся Числова вісь, Інтервал.
Подання числової інформації за допомогою систем числення
Конспект уроку >> Інформатика, програмування
Подання числової інформації за допомогою систем числення. тему нашого сьогоднішнього уроку: «Представлення числової інформації за допомогою систем числення». числення записується у вигляді суми чісловогоряда ступенів підстави, як коефіцієнтів.