Лінійне перетворення називається діагоналізіруемим, якщо існує базис, в якому матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд. Зауважимо, що базис, в якому матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд, утворений власними векторами. Вірно і зворотне. В базисі з власних векторів матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд. Чи не кожне лінійне перетворення діагоналізіруемо. Наприклад, лінійне перетворення, задане матриця не діагоналізіруемо.
Теорема 7.3. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.
Доведення. Нехай - лінійно незалежна система власних векторів, відповідних власному значенню, де i = 1, ..., s. Покажемо лінійну незалежність системи векторів індукції по s. При s = 1 твердження очевидне. Нехай воно вірно для s -1. Покажемо його справедливість для s. Припустимо, система - лінійно залежна. Тоді знайдуться коефіцієнти не всі рівні нулю, що. З цієї рівності виводимо або. За припущенням індукції всі коефіцієнти в цій рівності рівні 0, і, отже при i Розглянемо питання про кількість лінійно незалежних власних векторів, відповідних власному числу. Геометричній кратністю власної числа називається дефект перетворення, а алгебраїчної кратністю називається кратність кореня в характеристичний многочлене. Теорема 7.4. Геометрична кратність не перевищує його алгебраїчної кратності. Доведення. Нехай геометрична кратність дорівнює k. Доповнимо базис ядра перетворення до базису всього простору. Матриця лінійного перетворення в цьому базисі має вигляд і характеристичний многочлен дорівнює. Таким чином, алгебраїчна кратність не менш геометричній кратності, що й треба було довести. Теорема 7.5 Лінійне перетворення лінійного простору V над числовим полем P діагоналізіруемо тоді і тільки тоді, коли характеристичний многочлен розкладається над полем P на лінійні множники і алгебраїчна кратність кожного кореня збігається з його геометричною кратністю.Схожі статті