Підписи до слайдів:
Втрата коренів і сторонні корені при вирішенні рівнянь
МОУ "СОШ №2 з поглибленим вивченням окремих предметів" міста Всеволожска. Дослідницьку роботу підготував учень 11 Б класу: Васильєв Василь. Керівник проекту: Єгорова Людмила Олексіївна.
Рівняння Для початку розглянемо різні способи вирішення даного рівняння sinx + cosx = - 1
Рішення №1 sinx + cosx = -1 я У х 0 1 sin (x +) = - 1 sin (x +) = - x + = - +2 x + = +2 + x = - +2 x = +2 Відповідь: +2
Рішення №2 sinx + cosx = - 1 я Відповідь: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin) = 0 cos = 0 cos + sin = 1 = + m tg = -1 = + m = - + x = - +2 x = +2
Рішення №3 я у х 0 1 sinx + cosx = - 1 | 2 = x = x + x sin2x = 0 2x = x = Відповідь:
sinx + cosx = -1 Рішення №4 я у х 0 1 + = - 1 2tg + 1 = -1- 2tg = - 2 = - + n x = - + 2 n Відповідь: - + 2 n
Звіримо рішення Вірні рішення Розберемося, в яких випадках можуть з'явитися сторонні корені і чому №2 Відповідь: +2 №3 Відповідь: №4 Відповідь: + 2 n №1 Відповідь: +2
Перевірка рішення треба робити перевірку? Перевіряти коріння на всякий випадок, для надійності? Це звичайно корисно, коли підставити просто, але математики народ раціональний і зайвих дій не роблять. Розглянемо різні випадки і згадаємо, коли перевірка дійсно потрібна.
1. Найпростіші готові формули c osx = a x = a = a s inx = a t gx = a У тих випадках, коли коріння знайдені по найпростішим, готовим формулами, то перевірку можна не робити. Проте, при використанні таких формул слід пам'ятати умови, при яких можна їх застосовувати. Наприклад, формулу = можна застосовувати за умови a 0. -4ac 0 А грубою помилкою вважається відповідь x = arccos2 + 2 для рівняння cosx = 2. так як формулою x = arccos a +2 можна користуватися тільки для коренів рівняння cosx = a. де | a | 1
2. Перетворення Найчастіше при вирішенні рівнянь доводиться проводити багато перетворень. Якщо рівняння замінити новим, має всі корені попереднього, і перетворювати його так, щоб не відбулося втрати або придбання коренів, то такі рівняння називаються рівносильними. 1. При перенесенні складових рівняння з однієї частини в іншу. 2. При додаванні до обох частин одного і того ж числа. 3. При множенні обох частин рівняння на одне і те ж не рівне нулю число. 4. При застосуванні тотожностей, вірних на множині всіх дійсних чисел. При цьому перевірка не обов'язкова!
Однак, не всяке рівняння можна вирішити рівносильними перетвореннями. Найчастіше доводиться застосовувати нерівносильні перетворення. Часто такі перетворення засновані на користуванні формул, вірних не при всіх дійсних значеннях. При цьому, зокрема, змінюється область визначення рівняння. Така помилка знаходиться в рішенні №4. Розберемо помилку, але перш знову подивимося на спосіб вирішення №4. sinx + cosx = -1 + = -1 2tg + 1 = -1- 2tg = -2 = - + nx = - + 2 n Помилка криється у формулі sin2x = Цією формулою користуватися можна, тільки слід додатково перевірити, чи є корінням числа виду + при яких не визначений tg. Тепер ясно, що в рішенні втрата коренів. Доведемо його до кінця.
Рішення №4 я у х 0 1 Перевіримо числа = + n підстановкою. x = + 2 n sin (+ 2 n) + cos (+ 2 n) = sin + cos = 0 + (- 1) = - 1 Значить x = +2 n є коренем рівняння Відповідь: +2 sinx + cosx = - 1 + = - 1 2tg + 1 = -1- 2tg = - 2 = - + nx = - + 2 n
Ми розглянули один із способів втрати коренів, в математиці їх безліч, тому потрібно вирішувати уважно, пам'ятаючи все правила. Також, як можна втратити корені рівняння, можна і придбати зайві в ході його рішення. Розглянемо рішення №3 в якому допущена така помилка.
Рішення №3 я у х 0 1 2 2 і зайві корені! Сторонні корені могли з'явитися, коли обидві частини рівняння були зведені в квадрат. У цьому випадку необхідно зробити перевірку. При n = 2k маємо sin k + cos k = -1; cos k = -1 при k = 2m-1. Тоді n = 2 (2m + 1) = 4m + 2. x = = +2 m. Відповідь: +2 При n = 2k + 1 маємо sin + cos = - 1 sin (+ k) + cos (+ k) = - 1 cos k-sin k = - 1 cos k = -1 при k = 2m + 1 n = 2 (2m + 1) + 1 = 2m + 3 x = (4m + 3) = +2 m = - +2 sinx + cosx = - 1 = x = x + x sin2x = 0 2x = x =
Отже, ми розглянули кілька можливих випадків, яких безліч. Намагайтеся не витрачати свій час даремно і не робити дурних помилок.