. Дослідження і рішення систем лінійних
рівнянь
Дана система лінійних рівнянь
Довести її спільність і вирішити: 1) методом Гаусса; 2) засобами матричного числення.
Довести спільність - це значить довести, що дана система має хоча б одне рішення. При доказі спільності системи (4.1) може бути використана теорема (1.2) Кронекера-Капеллі.
В даному випадку
потрібно довести, що rang A = rang.
Для обчислення рангу матриці може бути використаний метод оздоблюють мінорів. Мінор порядку k + 1, що містить в собі мінор порядку k. називається окаймляющим мінор.
Якщо у матриці A існує мінор, а все що облямовують його мінори, то r (A) = k.
У разі якщо число рівнянь системи збігається з числом невідомих, для доказу спільності можна скористатися теоремою (1.1) Крамера.
1) Застосування методу Гауса для вирішення систем трьох лінійних рівнянь полягає в послідовному виключенні невідомих в рівняннях системи (4.1) з метою приведення її до трикутного вигляду:
При цьому допускаються наступні елементарні перетворення системи, що призводять до еквівалентним системам рівнянь:
а) перестановка рівнянь в системі;
б) множення обох частин рівнянь на одне і те ж число нерівне нулю;
в) додаток до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на одне і те ж число;
г) виключення рівнянь виду 0 = 0.
В отриманій системі (4.2), з 3-го рівняння обчислюється і його значення підставляється під 2-е рівняння, потім з 2-го рівняння обчислюється і підставляється разом з в 1-е рівняння, після чого з 1-го рівняння обчислюється.
2) Для вирішення систем лінійних рівнянь засобами матричного числення необхідно:
а) обчислити визначник матриці даної системи і переконатися, що. Якщо, то матричний метод не застосуємо;
б) знайти матрицю, зворотну до матриці A. за формулою:
де - алгебраїчні доповнення елементів матриці A (в нашому випадку
i, j = 1, 2, 3). Нагадаємо, що алгебраїчне доповнення одно визначник, отриманого з елементів матриці A після викреслювання i -го рядка і j-го стовпчика цієї матриці, помноженому на коефіцієнт, що дорівнює;
в) знайти рішення системи за формулою:.
Приклад. Дана система лінійних рівнянь
Довести її спільність і вирішити: 1) методом Гаусса; 2) засобами матричного числення.
Рішення. Доведемо спільність. Запишемо розширену матрицю системи
і знайдемо її ранг. Елемент матриці, що стоїть в лівому верхньому кутку, відмінний від нуля, отже,. Серед мінорів другого порядку, оздоблюють (що включають в себе) цей елемент, також є відмінні від нуля, наприклад:
З миноров третього порядку, оздоблюють, візьмемо мінор:
Так як, то, а так як у матриці миноров 4-го порядку не існує, то. Так як, то і. Таким чином,, і спільність доведена.
1) Застосуємо метод Гаусса до вирішення даної системи.
Крок 1. Помножимо перше рівняння системи на 1/2, щоб коефіцієнт при x1 став дорівнює одиниці.
Крок 2. Члени першого рівняння, по-перше, помножимо на -3 і додамо до членів другого рівняння, по-друге, помножимо на -5 і додамо до членів третього рівняння. В результаті отримаємо систему:
Крок 3. До членів третього рівняння додамо члени другого рівняння. В результаті, отримаємо:
Таким чином, вихідна система приведена до еквівалентної системі трикутного виду. Як відомо, вона має єдине рішення. Вирішуємо цю систему, починаючи з останнього рівняння:
2) Застосовуємо матричний метод до вирішення системи. Формуємо матриці, що складаються з елементів системи:
а) Визначник системи, значить, матричний метод можна застосовувати.
б) Запишемо систему в матричному вигляді:
в) Обчислюємо алгебраїчні доповнення:
Підставляючи знайдені значення в формулу (4.3), отримаємо:
г) Скористаємося формулою або
4.2. Визначення координат вектора щодо
заданого базису
Приклад. Дано вектори: в деякому базисі. Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в цьому базисі.
Рішення. Складемо визначник з координат векторів і обчислимо його розкладанням, наприклад, по першому рядку:
Так як 0, то вектори утворюють базис (див. Розд. 1.9).
Знайдемо координати вектора щодо базису, тобто числові коефіцієнти 1, 2, 3 розкладання
В силу визначення рівності векторів і визначення операцій додавання векторів і множення вектора на число, коли відомі координати векторів щодо деякого базису, останнім векторне рівність можна записати у вигляді системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Вирішуючи цю систему, наприклад, за формулами Крамера, знаходимо:
Дослідження і рішення систем лінійних рівнянь Дана система лінійних рівнянь 1) Довести її спільність і вирішити: 1) методом Гаусса; 2) засобами матричного числення
Програма вступних випробувань до магістратури у напрямку 010100. 68 Математика Програма обговорена на засіданні кафедри ит
Новий прямий метод вирішення систем алгебраїчних рівнянь розмірності, має прямий і зворотний хід. Внаслідок виключення процедури вибору головного елемента, посилена його обчислювальна стійкість