Меридіан земного еліпсоїда є еліпс, радіус кривизни якого визначається величиною М. залежить від широти. Довжина дуги будь-якій кривій змінного радіуса може бути обчислена за відомою формулою диференціальної геометрії, яка стосовно меридіану має вираз
Тут В1 і В2 широти, для яких визначається довжина меридіана. Інтеграл не береться до замкнутому вигляді в елементарних функціях. Для його обчислення можливі лише наближені методи інтегрування. При виборі методу наближеного інтегрування звернемо увагу на те, що значення ексцентриситету меридіанного еліпса величина мала, тому тут можливо застосувати метод, заснований на розкладанні в ряд за ступенями малої величини (e / 2 cos 2 B <7*10 -3 ) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.
В геодезичній практиці можуть виникати різні випадки, частіше доводиться робити обчислення для малих довжин (до 60 км), але для спеціальних цілей може виникнути потреба обчислень дуг меридіанів великої довжини: від екватора до поточної точки (до 10 000 км), між полюсами (до 20 000 км). Необхідна точність обчислень може досягати величини в 0. 001 м. Тому ми розглянемо спочатку загальний випадок, коли різниця широт може досягати 180 0. а довжина дуги 20 000 км.
Для розкладання в ряд біноміального вираження застосовуємо відому з математики формулу.
Похибка обчислення з утриманням m членів розкладання тут достатньо визначити за допомогою залишкового члена в формі Лагранжа, яка не менше за абсолютною величиною суми всіх відкинутих членів розкладання і обчислюється за формулою
як перший з відкинутих членів розкладання, обчислений при максимально можливому значенні величини x.
У нашому випадку маємо
Підставляючи отриманий вираз в рівняння (4. 25), отримаємо
яке допускає почленное інтегрування з утриманням необхідного числа членів розкладів. Припустимо, що довжина дуги меридіана може досягати величини 10 000 км (від екватора до полюса), що відповідає різниці широт D В = p / 2. при цьому потрібно її обчислити з точністю до 0. 001 м, що відповідатиме відносної величиною 10 -10 . Значення cosB в будь-якому випадку не перевищить одиниці. Якщо при обчисленнях будемо утримувати третю ступеня розкладання, то залишковий член у формі Лагранжа має вираз
Як бачимо, для досягнення необхідної точності такого числа членів розкладання недостатньо, необхідно утримувати чотири члени розкладання і залишковий член у формі Лагранжа матиме вираз
Отже, при інтегруванні необхідно утримувати в даному випадку чотири ступені розкладання.
Почленное інтегрування (4. 28) не викликає труднощів, якщо перетворити парні ступеня в кратні дуги (cos 2 n B в Cos (2nB)), використовуючи відому формулу косинуса подвійного аргументу
; cos 2 B = (1 + cos2B) / 2,
послідовно застосовуючи яку, отримуємо
Діючи таким чином до cos 8 B. отримаємо після нескладних перетворень і інтегрування
Тут різниця широт береться в радіанної міру і прийняті наступні позначення коефіцієнтів, що мають постійні значення для еліпсоїда з даними параметрами.
Корисно запам'ятати, що довжина дуги меридіана з різницею широт в один градус приблизно дорівнює 111 км, в одну хвилину - 1. 8 км, в одну секунду - 0. 031 км.
В геодезичній практиці дуже часто виникає необхідність обчислення дуги меридіана малої довжини (порядку довжини сторони трикутника тріангуляції), в умовах Білорусі це значення не перевищить величини в 30 км. У цьому випадку немає необхідності застосовувати громіздку формулу (4. 29), а можна отримати більш просту, але забезпечує таку ж точність обчислень (до 0. 001 м).
Нехай широти кінцевих точок на меридіані будуть B1 і B2 відповідно. Для відстаней до 30 км це буде відповідати різниці широт в радіанної міру, не більше 0. 27. Обчислюючи середню широту Bm дуги меридіана за формулою Bm = (B1 + B2) / 2. приймаємо дугу меридіана за дугу кола радіусом
і її довжину обчислюємо за формулою довжини дуги кола
де різниця широт береться в радіанної міру.