Еліпсоїд інерції.
Формула (2.35) для моменту інерції щодо осі допускає наочну геометричну інтерпретацію.
Уявімо, що через точку Про початку координат системи ми проводимо прямі куди було можливо і на них відкладаємо відрізки довжиною - (рис. 2.13), де до є постійна величина, що має розмірність Геометричним місцем кінців цих відрізків буде деяка поверхню. Отримаємо рівняння цієї поверхні.
Нехай осі на рис. 2.13 - головні осі інерції. Проекції вектора на осі координат складають
Підставляючи (2.41) в (2.35), отримаємо
Це, як відомо, рівняння еліпсоїда, який в даному випадку називають еліпсоїдом інерції.
Центр еліпсоїда інерції, як видно з його рівняння, знаходиться на початку координат системи (точці О). Постійна до може бути обрана довільно і визначає масштаб побудови; змінюючи до, ми будемо отримувати подібні еліпсоїди. Головні осі еліпсоїда інерції є головними осями інерції тіла для точки О.
Еліпсоїд інерції жорстко пов'язаний з тілом, а його положення щодо тіла залежить від вибору точки О. еліпсоїд інерції, побудований для центру мас тіла, називається центральним. Якщо відомо положення еліпсоїда інерції, відомо і положення всього тіла в даний момент часу. Розглядаючи обертальний рух твердого тіла, в ряді випадків можна абстрагуватися від його форми і мати справу з еліпсоїдом інерції. Для куба і кулі, наприклад, центральні еліпсоїди інерції вироджуються в сферу, тому ці тіла з точки зору багатьох завдань механіки виявляються еквівалентними.
Для прикладу розглянемо суцільний однорідний куб з ребром а й масою. Еліпсоїд інерції для центру однієї з граней куба (точка О) показаний на рис. 2.14. Напівосі лежать на головних осях інерції для точки О, причому лежать в площині бічної грані, а - перпендикулярна цій бічній грані. Для порівняння: еліпсоїд інерції для центру куба вироджується в сферу з радіусом, рівним
Поняття еліпсоїда інерції дозволяє за допомогою досить простого графічного побудови
встановити зв'язок між кутовою швидкістю і моментом імпульсу відносно точки О, що належить осі обертання. Йдеться про так званому побудові Пуансо, яке ми наводимо без доведення: необхідно побудувати еліпсоїд інерції з центром в точці О і в точці його перетину з віссю обертання (вектором кутової швидкості провести площину, дотичну до еліпсоїда. Перпендикуляр, опущений з центра еліпсоїда інерції на дотичну площину, і дасть направлення вектора моменту імпульсу Приклад подібного побудови представлений на рис. 2.14.