ЕНЕРГЕТИЧНИЙ СПЕКТР СИСТЕМИ
Припустимо, що енергетичний спектр системи є дуже «щільним», т. Е. Складається з дуже великого числа дуже близько розташованих рівнів. Розділимо такий спектр на рівні ділянки Де, що охоплюють кілька рівнів. Так як ці рівні дуже близькі один до одного, то число частинок на кожному з них буде майже однаковим і рівним тому сумарне число частинок на всіх рівнях дорівнюватиме (індекс опускаємо):
Число рівнів на одиничному інтервалі енергії може бути різним у різних місцях спектра; в межі, коли рівні розташовані нескінченно близько один до одного (т. е. коли енергетичний спектр є безперервним), це відношення можна представити у вигляді функції від енергії:
Тоді формулу (2.46) можна переписати у вигляді
Тут важливо підкреслити, що в цій формулі означає не енергію окремого рівня, асреднюю енергію, взяту в межах ділянки число часток не на одному (взятому всередині рівні, а на всіх рівнях, енергії яких лежать в межах. У цьому полягає велика різниця між функціями розподілу і при переході від малих значень енергії до великих функція завжди убуває, тоді як поведінка визначається твором двох функцій: і Якщо у який-небудь системи є зростаюча функція, то буде мати максимум при деякому значенні
Перехід від систем з дискретним енергетичним спектром до систем з безперервним спектром можна уявити як поступове збільшення щільності, з якою розташовані рівні в енергетичному спектрі. Однак в межі, коли енергетичний спектр стає безперервним, функція втрачає свою наочну трактування як число рівнів в одиничному інтервалі енергії, але залишається досить важливою характеристикою енергетичного спектра системи. Крім того,
змінюється також і «статистична сума» (2.44), яка складається з кінцевих величин і при збільшенні числа доданків робиться нескінченно великою. Зважаючи на це, згідно з (2.42), стає нескінченно малим і число частинок на кожному певному рівні; в межі, коли число рівнів нескінченно велика, дорівнює нулю. Цей результат має важливе значення при ймовірнісної трактуванні статистичних явищ як одне з основних положень (див. Також § 10):
ймовірність того, що будь-яка певна ( «мічена») частка системи в даний момент часу має певне значення енергії (т. е. знаходиться на певному рівні спектра), дорівнює нулю; дорівнює нулю також імовірність певного розміщення частинок системи по її енергетичного спектру.
Зважаючи на це має сенс знаходити тільки ймовірність того, що дана частка має енергію, що лежить в межах Оскільки ця ймовірність, очевидно, буде пропорційна ширині інтервалу крім того, може бути різна в різних місцях спектра, то її записують у вигляді
Тоді число частинок, що мають ці значення енергії, дорівнюватиме
Таким чином, функція ймовірності збігається з функцією у формулі розподілу часток по безперервному спектру (2.47). З огляду на те що статистична сума для безперервних спектрів втрачає сенс, у формулі (2.47) постійна В (яка у дискретних спектрів дорівнювала повинна бути обчислена заново:
називається статистичним інтегралом і є характеристикою систем з безперервним енергетичним спектром. Так само як і у систем з дискретним спектром, величина зв'язується з термодинамічними функціями.