На практиці нерідко виникають випадки, коли необхідно замінити одне грошове зобов'язання іншим, наприклад з більш віддаленим терміном платежу, об'єднати кілька платежів в один (консолідувати платежі) і т. Д. Зрозуміло, що такі зміни не можуть бути довільними. Тому виникає питання про принцип, на якому повинні базуватися зміни умов контрактів. Таким загальноприйнятим принципом є фінансова еквівалентність зобов'язань. Еквівалентними вважаються такі платежі, які, будучи «наведеними» до одного моменту часу, виявляються рівними. Приведення здійснюється шляхом дисконтування (приведення до більш ранньої дати) або, навпаки, нарощення суми платежу (якщо ця дата відноситься до майбутнього). Якщо при зміні умов контракту принцип фінансової еквівалентності не дотримується, то одна з сторін-учасниць терпить збитки, розмір якого можна заздалегідь визначити.
Принцип еквівалентності в найбільш простому прояві випливає з формул нарощення і дисконтування, що зв'язують величини P і S. Сума P еквівалентна S при прийнятій відсотковій ставці і метод її нарахування. Дві суми грошей і, що виплачуються в різні моменти часу, вважаються еквівалентними, якщо їх сучасні (або нарощені) величини, розраховані за однією і тією ж процентною ставкою і на один момент часу, однакові. Заміна на в цих умовах формально не змінює відносини сторін.
На принципі еквівалентності ґрунтується порівняння різночасових платежів.
Порівняння платежів передбачає використання певної відсоткової ставки і, отже, результат залежить від вибору її розміру. Нехай порівнюються два платежу і з термінами і, причому і. Співвідношення їх сучасних вартостей залежить від розміру процентної ставки.
З ростом розміри сучасних вартостей зменшуються, причому при спостерігається рівність. Для будь-якої ставки маємо. Т.ч. результат порівняння залежить від розміру ставки, рівного. Назвемо цю ставку критичної або бар'єрної. На основі рівності
Якщо дисконтування проводиться за складною ставкою, то критичну ставку знайдемо з рівності
Принцип фінансової еквівалентності реалізується за допомогою побудови рівняння еквівалентності. в якому сума замінних платежів, приведених до якого-небудь моменту часу, прирівнюється до суми платежів за новим зобов'язанням, наведених до тієї ж дати. Для короткострокових зобов'язань приведення здійснюється зазвичай на основі простих процентних ставок, для середньострокових і довгострокових - за допомогою складних процентних ставок.
Одним з поширених випадків зміни умов контрактів є консолідація (об'єднання) платежів. Нехай платежі з термінами замінюються одним в сумі і терміном. У цьому випадку можливі дві постановки задачі: якщо задається термін, то знаходиться сума, і навпаки, якщо задана сума консолідованого платежу, то визначається термін. Розглянемо обидві постановки завдання.
Визначення розміру консолідованого платежу.
У загальному випадку, коли, шукану величину знаходимо як суму нарощених і дисконтованих платежів.
При застосуванні простих процентних ставок отримаємо
де - розміри об'єднуються платежів з термінами, - розміри платежів з термінами,
Для загального випадку на основі складних процентних ставок отримаємо
Визначення терміну консолідованого платежу
Якщо при об'єднанні платежів задана величина консолідованого платежу, то виникає проблема визначення його терміну. У цьому випадку рівняння еквівалентності зручно представити у вигляді рівності сучасних вартостей відповідних платежів.
При застосуванні простої процентної ставки це рівність має вигляд
Очевидно, що рішення може бути отримано за умови, що, тобто розмір замінює платежу не може бути менше суми сучасних вартостей замінних платежів. Крім того, шуканий термін пропорційний величині консолідованого платежу.
Перейдемо до визначення терміну консолідованого платежу на основі складних процентних ставок. Рівняння еквівалентності запишемо в такий спосіб
Для спрощення подальшого запису приймемо
Після чого знаходимо
Т.ч. рішення існує, якщо.