ності координат снаряда від часу має вигляд x (t) = v0cosa-t, y (t) = v0s \ na-t-SL.
Виключивши з цих рівнянь t, отримаємо рівняння траєкторії снаряда y = f (x):
y = xtga-f ^ - (l + tg2a). (I)
Це рівняння параболи. Коефіцієнти при х і х2 залежать від кута а, т. Е. При різних напрямках початкової швидкості виходять різні траєкторії. Таким чином, дане рівняння описує сімейство траєкторій при одних і тих же по модулю, але різних за направленням початкових швидкостях і0.
Але цього ж рівняння можна надати і інший сенс. Будемо тепер розглядати х і у як координати певної мети, в яку потрапляє снаряд, рухаючись по деякій траєкторії. Тоді при заданих координатах цілі х і у рівняння (1) визначає кут, під яким потрібно випустити снаряд з початковою швидкістю у0 для того, щоб він потрапив в цю мету. Вирішуючи це. квадратне відносно tg а рівняння, знаходимо
1Уо ± Vvl-g (gx2 + 2t% y) \. (2)
Якщо рівняння має речовий рішення, т. Е. Дискриминант неотрицателен:
то в ціль потрапити можна. Якщо дійсних розв'язків немає, т. Е.
^ О-g (gx2 + 2і'оу) <0,
то в ціль потрапити не можна. Це означає, що мета знаходиться за межами шуканої кордону. Координати цілі, розташованої на кордоні, повинні задовольняти співвідношенню vl-g (gx2 + 2vly) = 0. Висловлюючи звідси у як функцію х, отримуємо рівняння кордону в явному вигляді:
Це рівняння параболи з вершиною при х = 0, y = * vl / 2g. Коефіцієнт при х2 негативний, т. Е. Гілки параболи спрямовані вниз і перетинають горизонтальну вісь в точках
26
x = ± v \ lg (рис. 7.2). Отже, отримана межа дійсно проходить через точки, які спочатку були нами встановлені з елементарних міркувань.
Ми знайшли перетин граничної поверхні вертикальною площиною, що проходить через початок координат. Вся поверхня може бути отримана обертанням цієї параболи навколо осі у.
У зв'язку з наведеним рішенням зробимо ще кілька зауважень. Розглянемо будь-яку точку, що знаходиться ближче кордону (наприклад, точку А на рис, 7.2). Для такої точки подкоренное вираз у формулі (2) позитивно,
і, отже, через неї проходять дві траєкторії (при заданому значенні початкової швидкості), що відповідають двом можливим значенням кута а.
У балістики одна з цих траєкторій називається настильній, а інша, що стосується кордону до попадання в ціль, - навісний. Через кожну точку, що належить кордоні, проходить лише одна траєкторія. Відзначимо, що межа є обвідної для сімейства траєкторій при різних напрямках початкової швидкості і фіксованому значенні початкової швидкості v0.
Наведемо ще один можливий шлях вирішення цього завдання, пов'язаний з ще одним трактуванням рівняння (1). Розглянемо цілі, що знаходяться на одній вертикалі, яка відступає від знаряддя на відстань х, і знайдемо на ній найвищу точку, в яку ще може потрапити снаряд. Ця точка, очевидно, належить кордоні. Таким чином, завдання зводиться до знаходження максимуму у, т. Е. Правій частині рівняння (1), що розглядається як функція кута а. Права частина є квадратний тричлен щодо tg а й має максимум при tg a = vl / gx. Відповідне максимуму значення у виходить підстановкою цього значення tg а в рівняння (1):
що збігається з отриманим раніше рівнянням кордону (4). А
8. Бруд від коліс. Телега рівномірно котиться по горизонтальній мокрій дорозі. На яку максимальну висоту піднімаються краплі води, що зриваються з обода колеса?
Л Це завдання багато в чому подібна до попередньої. сама
8. БРУД ВІД КОЛЕС
суттєва особливість полягає, мабуть, в тому, що для її вирішення не можна помістити початок координат в вихідну точку траєкторії краплі, так як відрив крапель відбувається в різних точках обода колеса. Сумісний тому початок координат з центром колеса, т. Е. Розглядатимемо рух крапель в системі відліку, пов'язаної з Телегон, що рухається рівномірно і прямолінійно щодо землі. Очевидно, що максимальна висота підйому крапель по вертикалі не залежить від того, розглядати їх рух в системі відліку, пов'язаної із землею, або в системі відліку, пов'язаної з рівномірно рухається по горизонталі возом. Якщо швидкість вози дорівнює Vo і колеса не пробуксовують, то в обраній системі відліку швидкість
будь-якої точки обода також дорівнює v0. (Доведіть останнє твердження самі - це зовсім просто.) Положення будь-якої з точок, в яких відбувається відрив краплі від обода, однозначно визначається кутом <р (рис. 8.1).
Поточні координати краплі, що відірвалася від обода колеса в точці, яка характеризується кутом <р, определяются соотношениями
y (t) = R sin cp-f0o cos ф - / - gt2 / 2. (2)
Для знаходження максимальної висоти підйому краплі утах потрібно підставити в рівняння (2) час підйому краплі / i, яке найпростіше знайти наступним чином. У найвищій точці траєкторії вертикальна складова швидкості vy звертається в нуль: vy = va cos