2.4. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею.
Формула Ньютона-Лейбніца
До сих пір ми розглядали певний інтеграл з постійними межами інтегрування a і b. Нехай функція f (x) інтегрована на відрізку [a, b]. Якщо. то функція f (x) також інтегрована на будь-якому відрізку [a, x]. Якщо змінювати верхню межу, не виходячи з відрізка [a, b], то величина інтеграла буде змінюватися, т. Е. Інтеграл з постійним нижньою межею a і змінною верхньою межею x є функція верхньої межі. Позначимо цю функцію Ф (x):
Зауваження. Для зручності змінна інтегрування тут позначена буквою t. так як буквою x позначений верхня межа інтегрування.
Інтеграл (8) називається інтегралом із змінною верхньою межею.
Сформулюємо основну теорему диференціального й інтегрального числення, яка встановлює зв'язок між похідною і інтегралом.
Похідна інтеграла від неперервної функції по змінному верхньої межі існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, рівною верхній межі, т. Е.
Ця теорема стверджує, що будь-яка безперервна функція на відрізку [a, b] має на ньому первісну, причому цієї первісної є функція Ф (x), а так як будь-яка інша первісна функції f (x) може відрізнятися від даної Ф (x) лише на постійну, то встановлюється зв'язок між невизначеним і визначеним інтегралом.
Формула (10) називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Формулу Ньютона - Лейбніца можна переписати як
Висновок. Визначений інтеграл від неперервної функції f (x) дорівнює різниці значень будь-якої первісної для верхньої і нижньої меж інтегрування.
Формула Ньютона - Лейбніца відкриває широкі можливості для обчислення визначених інтегралів, так як завдання зводиться до задачі обчислення невизначених інтегралів.
П р и м і р 2. Обчислити інтеграл.
Якщо вважати змінним нижня межа інтегрування, то користуючись формулою Ньютона - Лейбніца, отримаємо
Есліf (x) - безперервна, # 966; (x), # 968; (x) - диференційовані функції, то похідна від інтеграла по переменнойx