Тема 1.2. Звичайні диференціальні рівняння
Рішення різних завдань методом математичного моделювання зводиться до відшукання невідомої функції з рівняння, що містить незалежну змінну, шукану функцію і похідні цієї функції. Таке рівняння називається диференціальним.
Визначення. Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція, яка звертає дане рівняння в тотожність.
Символічно диференціальне рівняння записується так:
F (x, y, y '. Y' '. Y (h)) = 0
2x + y - 3y '= 0 y' 2 - 4 = 0, sin y '= cos xy, y' '= 2x є диференціальнимирівняннями.
Визначення 2. Порядком диференціального рівняння називаються найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.
xy '+ y - 2 = 0 - рівняння першого порядку
y '' + 7y'- 3y = 0 - рівняння третього порядку
Визначення 3. Диференційним рівнянням першого порядку називається рівняння виду F (x, y, y ') = 0
y '= f (x, y) - рівняння першого порядку, дозволене відносно похідної.
Визначення 4. Будь-яке окремо взяте рішення диференціального рівняння називається його приватним рішенням.
Визначення 5. Функція, задана формулою y = (e (x, C) або y = y (x, C) - являє спільне рішення диференціального рішення F (x, y, y ') = 0 або
Завдання Коші. При вирішенні конкретних завдань часто необхідно виділити з усієї сукупності рішень диференціального рівняння то приватне рішення, яке є відповіддю на поставлене запитання. Для того щоб з усієї сукупності рішень виділити окрему інтегральну криву, задають так звані початкові умови.
У разі диференціальних рівнянь першого порядку y '= f (x, y) під початковим умовою для його вирішення y = y (x) розуміють умови, що складаються в тому, що y = yo при х = хо тобто y (хо) = yo, де xo і yo - задані числа (початкові дані), такі, що при х = хо і y = yo функція f (x, y) має сенс, тобто існує f (Xо. Yо).
Визначення 6. Завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, називається задачею Коші.
У разі диференціального рівняння першого порядку задача Коші формулюється так: знайти рішення y = y (x) рівняння y '= f (x, y), що задовольняє при заданих початкових даних (Xо. Yо) початковій умові
Визначення 7. Диференціальне рівняння називається рівнянням із перемінними, якщо має наступний вигляд: y '= f1 (x) f2 (y) або
Теорема: Якщо існують інтеграли ∫dy / f2 (y) і ∫ f1 (x) dx, то загальний інтеграл рівняння з розділеними змінними задається рівнянням
F2 (y) = F1 (x) + C, де F2 (y) і F1 (x) - деякі первісні відповідно функцій 1 / f2 (y) і f1 (x).
При вирішенні диференціальних рівнянь з розділяють змінними можна керуватися наступним алгоритмом:
1) розділити змінні (з урахуванням умов, коли це можна робити);
2) інтегруючи почленно отримані рівняння з розділеними змінними, знайти його загальний інтеграл;
3) з'ясувати, чи має рівняння рішення, які не виходять із загального інтеграла;
4) знайти приватний інтеграл (або рішення), що задовольняє початковим умовам (якщо це потрібно).
Приклад. Знайти приватне рішення рівняння 2yy '= 1-3x 2 якщо yo = 3 при x o = 1
Це рівняння з розділеними змінними. Уявімо його в диференціалах:
Звідси 2y * dy = (1-3 x 2) dx
Інтегруємо обидві частини останнього рівності, знайдемо ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx отримуємо у 2 = x - x 3 + C. Підставивши початкові значення yo = 3 x o = 1 знайдемо
С. 9 = 1-1 + С тобто С = 9.
Отже, шуканий приватний інтеграл буде y 2 = x - x 3 + 9 або
x 3 + y 2 - x - 9 = 0
Визначення 1. Числовим поруч називається вираз виду
а1 + а2 + ... аn + .......... де а1. А2. ...... аn - числа, що належать деякій певній числовій системі.
Для скороченого позначення рядів використовується знак підсумовування # 931 ;. а
Визначення 2. Числа а1, а2, ... аn. ... ..називаются членами ряду; аn - називається загальним членом ряду.
Визначення 3. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його приватних сум S1. S2. S3. Sn. сходиться, тобто якщо існує кінцева межа
Число S називається сумою ряду. Якщо Lim Sn не існує або Lim Sn = ∞, то ряд
h → ∞ h → ∞
називається розбіжним і йому не приписується ніяке числове значення.
Теорема 1. Якщо ряд сходиться, то його загальний член аn прагне до нуля.
Якщо Lim аn ≠ 0 або ця межа не існує, то ряд розходиться.
Теорема 2. Нехай дано ряд а1 + а2 + ... аn + .........., З позитивними членами.
Припустимо, що Lim існує і Lim = Р
1) якщо Р<1, то ряд сходится
2) якщо Р> 1, то ряд розходиться.
Визначення 3. Ряди, що містять як позитивні, так і негативні члени, називаються закономірними.
Визначення 4. Закономірний ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд
| А1 | + | А2 | + ... + | аn | + .......... складений з модулів його членів.
Визначення 5. Ряд а1 + а2 + ... аn + .......... називається умовно збіжним, якщо він сходиться, а ряд | а1 | + | А2 | + ... + | аn | + .......... складений з модулів його членів, розходиться.
Визначення 6. Ряд називається Знакозмінні, якщо позитивні і негативні члени слідують один за одним по черзі (а1 + а2 + а3 - а4 + ... .. + (- 1) n +1 *
Теорема 3. Знакозмінні ряд сходиться, якщо:
1) його члени зменшуються по модулю,
2) його загальний член прямує до нуля,
При цьому сума S ряду задовольняє нерівністю 0≤ S ≤a1
Визначення 7. Нехай u1 (x), u2 (x). un (x). - деяка послідовність функцій.
вираз виду # 931; un (x) = u1 (x), u2 (x). un (x) + називається функціональним рядом.
Визначення 8. Функціональний ряд називається збіжним в точці xo. якщо
отриманий з функціонального ряду підстановкою x = xo. є збіжним рядом. При цьому називається точкою збіжності ряду.
Визначення 9. Статечним поруч називається функціональний ряд вигляду
де х - незалежна змінна, Хo - фіксоване число, аo. а1. А2. ... а n .... - постійні коефіцієнти.
Розділ 2.1. Основи дискретної математики.
Тема 2.1. Множини і відношення. Властивості відносин. Операції над множинами.
Безліч - основне поняття а теорії множин, яке вводиться без визначення. Про безлічі відомо як мінімум те, що воно складається з елементів.
Безліч А називається
Способи завдання множин:
1. Перерахуванням, тобто списком своїх елементів.
2. Породжує процедурою, яка описує спосіб отримання елементів безлічі з уже отриманих елементів або інших об'єктів. В такому випадку елементами безлічі є всі об'єкти, які можуть бути побудовані за допомогою такої процедури.
3. Описом характеристичних властивостей, якими повинні володіти його елементи.
Задати різними способами безліч N всіх натуральних чисел 1, 2, 3 ... ..
а) списком безліч N задати не можна з огляду на його нескінченності.
б) породжує процедура містить два правила:
1) 1 Î N; 2) якщо n Î N, то n + 1 Î N
в) опис характеристичного властивості елементів безлічі N:
Операції над множинами.
1. Об'єднанням множин А і В називається
безліч складається з усіх тих елементів,
які належать хоча б одній з множин
2. Перетин множин А і В називається
безліч, що складається з усіх тих і тільки тих елементів,
які належать і А і В. (рисунок 3)
3. Різницею множин А і В називається множина
всіх тих і тільки тих елементів А, які
не містяться в В. (рис.4)
4. Доповненням (до В) безлічі А називається В
Здійснити операції над множинами А = і B =
Операції доповнення над множинами А і В не можуть бути виконані тобто універсальне безліч не визначене.
Відносини - один із способів завдання взаємозв'язків між елементами безлічі. Найбільш вивченими і найчастіше використовуваними є так звані упарние і Біпарние відносини.
Відносини можна задати:
Нехай R - відношення на множині М, R ≤ М х М, тоді:
1. R - рефлексивно, якщо має місце а R а для будь-якого а Î М.
2. R - антирефлексивне, якщо ні для кожного а Î М не виконується а R а.
3. R - симетрично, якщо а R b тягне bRа.
4. R - антісемметрічно, якщо aRb і bRa тягнуть a = b, тобто ні для яких розрізняються елементів a і b (a ≠ b) не виконується одночасно aRb і bRa.
5. R- транзитивно, якщо aRb і bRa тягнуть aRc.
Тема 2.2 Основні поняття теорії графів
Графічні подання в широкому сенсі - будь-які наочні відображення досліджуваної системи, процесу, явища на площині. До них можуть бути віднесені малюнки, креслення, графіки залежностей характеристик, план-карти місцевостей, блок-схеми процесів, діаграми і т.п.
Графічні подання - зручний спосіб ілюстрації змісту різних понять, що відносяться до інших способів формалізованих уявлень.
Потужним і найбільш дослідженим класом об'єктів, що відносяться до графічних уявленням, є так звані графи.
Теорія графів має величезні додатки, так як її мову, з одного боку, наочний і зрозумілий, а з іншого - зручний в формальному дослідженні.
Графічні подання у вузькому сенсі - це опис досліджуваної системи, процесу, явища засобами теорії графів у вигляді сукупності двох класів об'єктів: вершин і з'єднують їх ліній - ребер або дуг.
Визначення: графом Д називається сукупність двох множин: вершин V і ребер E, між елементами яких визначено ставлення инцидентности - кожне ребро е Е інцидентне дорівнює двом вершинам v ', v' 'V, які воно з'єднує.
Так само про теорії графів, про елементи графів, ознайомиться з видами графів і розглянути операції над ними, ви можете вивчаючи розділ 3 «Теорія графів», стр.195-214 в підручнику для ХХ1 століття під редакцією Г.І.Москінова «Дискретна математика ».
Для самостійного вивчення теми 3.1. Основи теорії ймовірностей і математичної статистики. Імовірність. Теореми додавання та множення ймовірностей. Теми 3.2. Випадкова величина, її функція розподілу. Теми 3.3. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини. Можна використовувати наступну літературу: В.С.Щіпачева «Основи вищої математики», а так само І.П.Натансон. Короткий курс вищої математики або Н.В.Богомолов Практичне заняття з математики.