Визначення 1. Точка x нескінченній прямій називається граничною точкою послідовності n>, якщо в будь-який e - околиці цієї точки є нескінченно багато елементів послідовності n>.
Лемма 1. Якщо x- гранична точка послідовності k>, то з цієї послідовності можна виділити підпослідовність nk>, що сходиться до числа x.
Зауваження. Справедливо і зворотне твердження. Якщо з послідовності k> можна виділити підпослідовність, що сходиться до числа x, то число x є граничною точкою послідовності k>. Дійсно, в будь-який e - околиці точки x є нескінченно багато елементів підпослідовності, а отже і самої послідовності k>.
З леми 1 випливає, що можна дати інше визначення граничної точки послідовності, еквівалентну визначенням 1.
Визначення 2. Точка x нескінченно прямий називається граничною точкою послідовності k>, якщо з цієї послідовності можна виділити підпослідовність, що сходиться до x.
Лемма 2. Кожна сходиться послідовність має тільки одну граничну точку, збігається з межею цієї послідовності.
Зауваження. Якщо послідовність сходиться, то вона в силу леми 2 має тільки одну граничну точку. Однак, якщо n> не є такою, що сходиться, то вона може мати кілька граничних точок (і, взагалі нескінченно багато граничних точок). Покажемо, наприклад, що має дві граничні точки.
Дійсно, = 0,2,0,2,0,2. має дві граничні точки 0 і 2, тому що підпослідовності = 0,0,0. і = 2,2,2. цієї послідовності мають межами відповідно числа 0 і 2. Інших граничних точок у цій послідовності немає. Дійсно, нехай x-будь-яка точка числової осі, відмінна від точок 0 та 2. Візьмемо e> 0 настільки
малим, щоб e - околиці точок 0, x і 2 цієї статті не перетиналися. В e- околицях точок 0 та 2 містяться всі елементи послідовності і тому e - околиця точки x не може містити нескінченно багато елементів і тому не є граничною точкою цієї послідовності.
Теорема. У будь-якої обмеженої послідовності існує хоча б одна гранична точка.
Зауваження. Жодне число x. перевершує, не є граничною точкою послідовності n>, тобто - найбільша гранична точка послідовності n>.
Нехай x- будь-яке число, що перевершує. Виберемо e> 0 настільки малим,
і x 1 Î, Правіше x 1 лежить кінцеве число елементів послідовності n> або їх зовсім немає, тобто x не є граничною точкою послідовності n>.
Визначення. Найбільша гранична точка послідовності n> називається верхньою межею послідовності і позначається символом. З зауваження випливає, що у будь-якої обмеженої послідовності є верхня межа.
Аналогічно вводиться поняття нижньої межі (як найменшої граничної точки послідовності n>).
Отже, ми довели таке твердження. У будь-якої обмеженої послідовності існує верхній і нижній межі.
Сформулюємо без доведення наступну теорему.
Теорема. Для того, щоб послідовність n> була сходящейся, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою і щоб її верхній і нижній межі збігалися.
Результати цього пункту призводять до наступної основною теоремою Больцано-Вейєрштрасса.
Теорема Больцано-Вейєрштрасса. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити сходящуюся підпослідовність.
Доведення. Так як послідовність n> обмежена, то вона має хоча б одну граничну точку x. Тоді з цієї послідовності можна виділити підпослідовність, що сходиться до точки x (випливає з визначення 2 граничної точки).
Зауваження. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити монотонну сходящуюся послідовність.