гранична точка

Визначення і типи граничних точок

Точка x називається граничною точкою підмножини A в топологічному просторі X. якщо будь-яка проколота околиця точки x має з A непорожнє перетин.

Точка x називається строго граничної точкою підмножини A. якщо будь-яка околиця точки x має з A нескінченне число спільних точок. Для T1 -простору (тобто просторів, у яких всі крапки (одноточкові безлічі) замкнуті) поняття гранична точка і строго гранична точка рівносильні.

Точка x називається точкою повного накопичення підмножини A. якщо для будь-якої околиці U точки x потужність перетину U ∩ A дорівнює потужності множини A.

Пов'язані поняття і властивості

  • Всі точки безлічі A діляться на два види: граничні і ізольовані точки. Ізольованою називається така точка x, у якій є околиця, яка не має з A інших спільних точок, крім x. Підмножина в A. що складається з однієї цієї точки, є відкритим в A (в індукованої топології).
  • Сукупність усіх граничних точок множини A називається його похідним безліччю і позначається A '. Всі граничні точки безлічі входять в його замикання A ¯>. Більш того, справедливо рівність: A ¯ = A ∪ A '= A \ cup A'>. з якого легко виходить наступний критерій замкнутості підмножин. Безліч A замкнуто тоді і тільки тоді, коли містить всі свої граничні точки.
  • Якщо x - гранична точкою множини A. то існує напрямок точок з A. сходяться до x.
  • В метричних просторах. якщо x - гранична точка множини A. то існує послідовність точок з A сходиться до x. Топологічні простору, для яких виконується ця властивість, називаються просторами Фреше - Урисона.
  • Топологічний простір X компактно тоді і тільки тоді, коли в ньому всяке нескінченна підмножина має хоча б одну точку повного накопичення в X.
  • Топологічний простір X лічильно компактно тоді і тільки тоді, коли в ньому всяке нескінченна підмножина має хоча б одну сувору граничну точку в X. Всякий компакт лічильно компактний. Для метричних просторів вірно і зворотне (критерій компактності метричного простору): метричний простір компактно тоді і тільки тоді, коли воно лічильно компактно.
(Зокрема, оскільки відрізок прямої компактний, то він лічильно компактний. Отже, будь-яке нескінченне обмежена підмножина прямої має хоча б одну граничну точку.)
  • Замкнутий безліч в гаусдорфів просторі називається досконалим. якщо кожна його точка є граничною (тобто, якщо безліч не містить ізольованих точок). Прикладами скоєних множин можуть служити відрізок прямої, безліч Кантора.

Гранична точка числового безлічі

Зокрема, граничної точкою числового безлічі, що має нескінченне число елементів, називається точка числової прямої. в будь-який околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї множини. Також можна вважати граничною точкою такого безлічі - ∞. якщо з деяких його елементів можна скласти нескінченно велику послідовність з попарно різними негативними елементами. Якщо ж можна скласти нескінченно велику послідовність з попарно різними позитивними елементами, то можна вважати граничною точкою + ∞ [1].

Верхня гранична точка числового безлічі - це найбільша з його граничних точок.

Нижня гранична точка числового безлічі - це найменша з його граничних точок.

  • У будь-якого обмеженого числового безлічі, що має нескінченне число елементів, існують і верхня, і нижня граничні точки (в безлічі дійсних чисел). Якщо додати в безліч дійсних чисел - ∞ і + ∞. то в отриманому безлічі граничні точки мають взагалі все числові безлічі з нескінченним числом елементів.
  • З елементів будь-якого обмеженого числового безлічі, що має нескінченне число елементів, можна виділити сходящуюся послідовність, елементи якої попарно різні.

Гранична точка числової послідовності

Гранична точка послідовності - це точка, в будь-який околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності [1].

x - гранична точка послідовності n = 1 ∞ ⇔ \ right \> _ ^ \ Leftrightarrow> ⇔ ∀ ε> 0 ∃ X ⊆ N. | X | = ℵ 0 ∧ ∀ i ∈ X. | x i - x | <ε

\ Exists X \ subseteq \ mathbb \ colon \ left | X \ right | = \ aleph _ \ land \ forall i \ in X \ colon \ left | x_-x \ right |<\varepsilon>

Найбільша гранична точка послідовності називається її верхньою межею. а найменша гранична точка - нижньою межею.

Іноді в безліч можливих граничних точок включають «- ∞» і «+ ∞». Так, якщо з послідовності можна виділити нескінченно велику підпослідовність, все елементи якої негативні, то кажуть, що «- ∞» є граничною точкою цієї послідовності. Якщо ж з послідовності можна виділити нескінченно велику підпослідовність з виключно позитивними елементами, то кажуть, що «+ ∞» є її граничної точкою [1]. При цьому, зрозуміло, у послідовності можуть бути і інші граничні точки.

  • Точка є граничною точкою послідовності тоді і тільки тоді, коли з цієї послідовності можна виділити підпослідовність. сходящуюся до цієї точки. x - гранична точка послідовності n = 1 ∞ ⇔ ∃ n = 1 ∞ ∀ i ∈ N. k i _ ^ \ Leftrightarrow \ exists \ left \\ right \> _ ^ \ forall i \ in \ mathbb \ colon k_= X> Іноді це властивість приймають за визначення, а наведене вище визначення - за властивість.
  • Будь-яка сходиться числова послідовність має тільки одну граничну точку. x. x '- граничні точки послідовності n = 1 ∞ ∧ ∃ lim n → ∞ x n ⇒ x = x '\ right \> _ ^ \ land \ exists \ lim _x_ \ Rightarrow x = x'>
  • Гранична точка будь-якої збіжної числової послідовності збігається з її межею. x - гранична точка послідовності n = 1 ∞ ∧ ∃ lim n → ∞ x n ⇒ lim n → ∞ x n = x \ right \> _ ^ \ land \ exists \ lim _x_ \ Rightarrow \ lim _x_ = x>
  • Для будь-якого кінцевого безлічі точок можна побудувати послідовність, для якої ці точки будуть граничними і ніякі, крім них.
  • У довільній числової послідовності є хоча б одна гранична точка (або речова. Або нескінченність).
  • У послідовності з одиниць <1> n = 1 ∞ _ ^> існує єдина гранична точка 1 (хоча вона не є граничною точкою множини значень елементів послідовності, що складається з одного елемента).
  • У послідовності <1 / n> n = 1 ∞ _ ^> існує єдина гранична точка 0.
  • У послідовності натуральних чисел n = 1 ∞ _ ^> немає граничних точок (або, в інших термінах, є гранична точка + ∞).
  • У послідовності <( − 1 ) n> n = 1 ∞ \ right \> _ ^> існують дві граничні точки: -1 і +1.
  • У послідовності з усіх раціональних чисел n = 1 ∞ \ right \> _ ^>. занумерованих довільним чином, існує нескінченно багато граничних точок.

Гранична точка напрямки

  • Точка є граничною точкою напрямки тоді і тільки тоді, коли існує піднапрямок, сходяться до цієї точки.
    • Зокрема, точка є граничною точкою послідовності тоді і тільки тоді, коли існує піднапрямок. сходяться до цієї точки.
    • Якщо кожна точка топологічного простору має лічильної базою, то в попередньому пункті можна говорити про підпослідовність.

Нехай A = [0. 1) - направлено за зростанням. У напрямку <α> α ∈ A _> існує єдина гранична точка 1> в топологічному просторі [0. 1].

Схожі статті