Визначення 1. Число a називається граничною точкою послідовності xn>, якщо з послідовності xn> можна виділити підпослідовність, що сходиться до a.
Визначення 2. Число a називається граничною точкою послідовності xn>, якщо в будь-який e-околі точки a міститься нескінченно багато членів послідовності xn>.
Затвердження. Визначення 1 і 2 еквівалентні.
Справді, нехай a - гранична точка послідовності xn> по першим визначенням, тоді існує підпослідовність ® a. і в будь-який e-околі точки a міститься нескінченно багато членів послідовності xn>, а це і означає, що точка a є граничною точкою послідовності по визначенню 2.
Нехай xn> - числова послідовність, і нехай k1. k2. .... kn. ... - зростаюча послідовність, елементами якої є натуральні числа. Виберемо з послідовності xn> елементи з номерами k1. k2. .... kn. .... отримаємо ось таку послідовність:. вона називається підпослідовність послідовності xn>. Відзначимо, що kn ³ n. Приклади підпослідовностей:
2) = x1. x3. x7. x13. ...
3) xn> - сама послідовність.