Розглянемо нелінійну систему, схема якої представлена на ріс.12.2, а. Система складається з лінійної частини з передавальної функцією Wл (s) і нелінійного ланки НЛ з конкретно заданої характеристикою. Ланка з коефіцієнтом - 1 показує, що зворотний зв'язок в системі негативна. Вважаємо, що в системі існують автоколивання, амплітуду і частоту яких ми хочемо знайти. В даному режимі вхідна величина Х нелінійного ланки і вихідна Y є періодичними функціями часу.
Метод гармонійної лінеаризації заснований на nредnоложеніі, що коливання на вході нелінійного ланки є сінусоідальни.мі, т. е. що
гдеА- амплітуда і - частота цих автоколивань. а - можлива в загальному випадку постійна складова, коли автоколивання несиметричні.
Насправді автоколебания в нелінійних системах завжди несинусоїдальний внаслідок спотворення їх форми нелі-нійним ланкою. Тому вказане вихідне припущення озна-чає, що метод гармонійної лінеаризації є принципово наближеним і область його застосування обмежена випадками, коли автоколивання на вході нелі-лінійного ланки досить близькі до синусоїдальним. Для того щоб це мало місце, лінійна частина системи повинна не пропускної-скать вищих гармонік автоколебаний, т. Е. Бути фільтром нижніх частот. Останнє ілюструється рис. 12.2, б. Якщо, наприклад, частота автоколивань дорівнює, то лінійна частина з показаної на рис. 12.2, б АЧХ буде грати роль фільтра нижніх частот для цих коливань, так як вже друга гармоніка, частота якої дорівнює 2, практично не пройде на вхід нелінійного ланки. Отже, в цьому випадку метод гармонійної лінеаризації застосуємо.
Якщо частота автоколивань дорівнює, лінійна частина буде вільно пропускати другу, третю і інші гармоніки автоколивань. У цьому випадку не можна стверджувати, що коливання на вході нелінійного ланки будуть досить близькі до синусоїдальним, тобто необхідна для застосування методу гармонійної лінеаризації передумова не виконується.
Для того щоб встановити, чи є лінійна частина си-стеми фільтром нижніх частот і тим самим визначити застосуй-ність методу гармонійної лінеаризації, необхідно знати частоту автоколивань. Однак її можна дізнатися тільки в резуль-таті використання цього методу. Таким чином, пpімeнімocть методу гармонійної лuнеарuзацuu прuходuтся визначати вже в кінці uсследованuя в порядку перевірки.
Зауважимо при цьому, що якщо в результаті цієї перевірки гіпо-теза про те, що лінійна частина системи грає роль фільтра ниж-них частот, не підтверджується, це не означає ще невірності отриманих результатів, хоча, зрозуміло, ставить їх під сом-ня і вимагає додаткової перевірки будь-яким іншим способом.
Отже, припустивши, що лінійна частина системи є фільтр нижніх частот, вважаємо, що автоколивання на вході нелінійного ланки синусоїдальна, тобто мають вигляд (12.1). Коливання на виході цієї ланки будуть при цьому вже несинусоїдальними внаслідок їх спотворення нелинейностью. Як приклад на рис. 12.3 побудована крива на виході нелінійного ланки для певної амплітуди вхідного чисто синусоїдального сигналу за влучним висловом ланки, наведеної там же.
Рис.12.3. Проходження гармонійного коливання через нелінійне ланка.
Однак, оскільки ми вважаємо, що лінійна частина системи пропускає лише основну гармоніку автоколебаний, має сенс цікавитися тільки цієї гармонікою на виході нелінійного ланки. Тому розкладемо вихідні коливання в ряд Фур'є і відкинемо вищі гармоніки. В результаті отримаємо:
Перепишемо вираз (12.2) в більш зручному для подальшого використання вигляді, підставивши в нього виходять з (12.1) такі вирази для і:
Підставивши ці вирази в (12.2), будемо мати:
Тут введені позначення:
Диференціальне рівняння (12.5) справедливо для синусоїдального вхідного сигналу (12.1) і визначає вихідний сигнал нелінійного ланки без урахування вищих гармонік.
Коефіцієнти відповідно до виразами (12.3) для коефіцієнтів Фур'є є функціями постійної складової, амплітуди А і частоти автоколивань на вході нелінійного ланки. При фіксованих А. і рівняння (12.5) є лінійним. Таким чином, якщо відкинути вищі гармоніки, то для фіксованого гармонійного сигналу вихідне нелінійне ланка може бути замінено еквівалентним лінійним, описуваних рівнянням (12.5). Ця заміна і називається гармонійної лінеаризацією.
На рис. 12.4 умовно зображена схема цієї ланки, що складається з двох паралельних ланок.
Мал. 12.4. Еквівалентну лінійне ланка, отримане в результаті гармонійної лінеаризації.
Одна ланка () пропускає постійну складову, а інше - тільки синусоидальную складову автоколебаний.
Коефіцієнти називаються коефіцієнтами гармонійної лінеаризації або гармонійними коефіцієнтами передачі. - коефіцієнт передачі постійної складової, а - два коефіцієнти передачі синусоїдальної складової автоколебаний. Ці коефіцієнти визначаються нелінійністю і значеннями і за формулами (12.3). Існують певні за цими формулами готові виро-вання для для ряду типових нелінійних ланок. Для цих і взагалі всіх безінерційних нелінійних ланок вели-чини не залежить від і є функціями тільки амплітуди А і.
Постійна складова на виході нелінійного ланки (див. Рівняння 12.2, 12.4) з'являється по одній з двох причин: якщо до системи докладено зовнішнє постійний вплив, що створює (див. Рівняння 12.1), або якщо характеристика нелінійного ланки несиметрична відносно початку коорди-нат, внаслідок чого відбувається явище випрямлення вхідного синусоїдального сигналу.
При гармонійної лінеаризації нелінійних ланок з такими характеристиками можна висловлювати через за допомогою коеф-фициента гармонійної лінеаризації, т. е. у вигляді
так як тут і при. Тому для несиметричних нелинейностей не можна користуватися рівнянням (12.5), а слід застосовувати рівняння (12.4). Відповідна схема представлена на рис. 12.4, Б.В зв'язку з цим для таких нелінійностей замість даються вираження безпосередньо для.
При відсутності зовнішнього впливу і симетричною харак-теристик постійна складова і рівняння (12.4) набирає вигляду:
де - передавальна функція еквівалентного лінійного ланки, яку можна назвати гармонійною функцією передачі нелінійного ланки.
Отже, при гармонійної лінеаризації, нелінійне ланка замінюється лінійним, еквівалентним для постійної складової вхідного сигналу і наближено еквівалентним для його коливальної складової. При цьому приблизно приймається, що спектр колебательной складової вхідного сигналу складається з однієї гармоніки, і нехтується її спотворенням в нелінійному ланці.
Умовою застосування методу лінеаризації в замкнутій системі є виконання лінійної частиною системи ролі фільтра нижніх частот. Смуга пропускання повинна бути мала в порівнянні з вищими гармоніками автоколебаний.
За допомогою гармонійної лінеаризації можна визначити параметри можливих автоколивань в цікавій для нас точці системи, які можуть бути використані для визначення стійкості нелінійної системи, якості перехідних процесів.