Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку - клас диференціальних рівнянь першого порядку, найбільш легко піддаються рішенню і дослідженню. До нього відносяться рівняння в повних диференціалах. рівняння із перемінними, однорідні рівняння першого порядку і лінійні рівняння першого порядку. Всі ці рівняння можна проінтегрувати в кінцевому вигляді.
За відправну точку викладу буде служити диференціальне рівняння першого порядку, записане в т. Н. симетричній формі:
де функції і визначені і неперервні в деякій області.
Рівняння в повних диференціалах
Якщо в рівнянні (1) ліва частина представляє собою повний диференціал, тобто, то таке рівняння називається рівнянням в повних диференціалах.
Якщо в області, то інтегральна крива такого рівняння має вигляд, звідки спільне рішення визначається як неявна функція. Через кожну точку області проходить єдина інтегральна крива даного рівняння.
Якщо розглянута область однозв'язна, а похідні також безупинні в, то для того, щоб (1) було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо виконання умови
(Ознака рівняння в повних диференціалах).
інтегруючий множник
Безперервна функція в називається інтегруючим множником рівняння (1), якщо рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто для деякої функції. Число інтегруючих множників даного рівняння нескінченно.
Функція є інтегруючим множником рівняння (1) тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянню
(Область як і раніше вважаємо однозв'язної; рівняння (2) є наслідком ознаки рівняння в повних диференціалах).
Рівняння (2) в загальному вигляді вирішується складніше, ніж (1), але для інтегрування (1) досить знати один інтегруючий множник, тобто знайти якесь одне рішення рівняння (2). Зазвичай шукають рішення (2) у вигляді або, але це не завжди можливо.
Рівняння з відокремлюваними змінними
Якщо в рівнянні (1), то це рівняння із перемінними. Його можна записати в симетричному вигляді:
- Рішення рівняння із перемінними
- Рішення рівняння є рішеннями (3).
- Якщо область обрана так, що, то розділивши на отримаємо рівняння з розділеними змінними
Це окремий випадок рівняння в повних диференціалах. Для нього дуже просто отримати рішення в квадратурі. Інтегральна крива рівняння (3), що проходить через точку, має вигляд:
Дивитися що таке "Інтегруючий множник" в інших словниках:
Інтегруючий множник - множник, після множення на який ліва частина диференціального рівняння (Див. Диференціальні рівняння) P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (*) звертається в повний диференціал (див. Диференціальне числення) деякої … … Велика Радянська Енциклопедія
Інтегруючий множник - для звичайного диференціального рівняння 1 го порядку функція володіє тим властивістю, що рівняння є диференціальним рівнянням в повних диференціалах. Напр. для лінійного рівняння y + a (x) y = f (x), або (a (x) y f (x)) dx + dy = 0, І. м. ... ... Математична енциклопедія
Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку - Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку клас диференціальних рівнянь першого порядку, найбільш легко піддаються рішенню і дослідженню. До нього відносяться рівняння в повних диференціалах, рівняння з роздільними ... ... Вікіпедія
Абсолютна ТЕМПЕРАТУРА - (термодинамічна температура), параметр стану, що характеризує макроскопіч. систему в стані термодинамич. рівноваги (при цьому А. т. всіх її макроскопіч. підсистем однакова). А. т. Введена в 1848 англ. фізиком В. Томсоном (Кельвіном) ... ... Фізична енциклопедія
Клаузіусом НЕРІВНІСТЬ - висловлює теорему термодинаміки, згідно до рій для будь-якого кругового процесу (циклу), вчиненого системою, виконується нерівність: де dQ кол теплоти, поглиненої або відданої системою на нескінченно малій ділянці кругового процесу при темп ... Фізична енциклопедія
ДРУГИЙ ПОЧАТОК ТЕРМОДИНАМІКИ - один з осн. законів термодинаміки, що встановлює незворотність реальних термодинамич. процесів. В. н. т. сформульовано як закон природи H. Л. С. Карно (N. L. S. Carnot) в 1824, P. Клаузиусом (R. Clausius) в 1850 і У. Томсоном (Кельвіном) (W ... Фізична енциклопедія
Дарбі РІВНЯННЯ - 1) Д. у. звичайне диференціальне рівняння де Р, Q, R цілі многочлени відносно хі у. Це рівняння вперше досліджував Г. Дарбу [1]. Окремий випадок Д. у. Якобі рівняння. Нехай п вища ступінь многочленів Р, Q, R, якщо Д. у. має s ... ... Математична енциклопедія
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ В ПОВНИХ диференціалом - звичайне диференціальне рівняння ліва частина до якого може бути записана у вигляді повної похідної: Іншими словами, рівняння (1) є Д. у. в п. д. якщо існує така функція, що диференціюється Ф (х, і 0, і 1. і п 1), що ... ... Математична енциклопедія
Звичайне диференціальне рівняння - Звичайні диференціальні рівняння (ОДУ) це диференціальне рівняння виду де невідома функція (можливо, вектор функція, тоді. Як правило, теж вектор функція зі значеннями в просторі тієї ж розмірності; в цьому ... ... Вікіпедія
Мю (буква) - Грецький алфавіт Α α альфа Β β бета ... Вікіпедія