А ось зараз необхідно вміти вирішувати межі функцій, як мінімум, на рівні двох базових уроків: Межі. Приклади рішень і Чудові межі. Тому що багато методів вирішення будуть схожі. Але, перш за все, проаналізуємо принципові відмінності границі послідовності від границі функції:
У межі послідовності «динамічна» змінна «ен» може стремітьсятолько до «плюс нескінченності» - в бік збільшення натуральних номерів. У межі функції «ікс» можна направити куди завгодно - до «мінус нескінченності» або до довільного дійсного числа.
Послідовність дискретна (переривана), тобто складається з окремих ізольованих членів. Раз, два, три, чотири, п'ять, вийшов зайчик погулять. Для аргументу ж функції характерна безперервність. тобто «ікс» плавно, без пригод прагне ...
до того чи іншого значення. І, відповідно, значення функції будуть так само безперервно наближатися до своєї межі.
Унаслідок дискретності в межах послідовностей зустрічаються свої фірмові речі, які втрачають будь-який сенс для традиційних функцій. Наприклад, факторіали, «мигалки», прогресії. Іншими словами, не буває «ікс факторіала» або «ікси в ступеня мінус один». І зараз я постараюся розібрати межі, які властиві саме для послідовностей.
Почнемо з прогресій:
Знайти межа послідовності
Рішення. щось схоже на нескінченно спадаючу геометричну прогресію, але вона це? Для ясності розпишемо кілька перших членів:
Так як. то мова йде про суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, яка розраховується за формулою.
Використовуємо формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. В даному випадку: - перший член, - знаменник прогресії.
Головне, впоратися з чотириповерховий дробу:
Написати перші чотири члени послідовності і знайти її межа
Це приклад для самостійного рішення. Для усунення невизначеності в чисельнику буде потрібно застосувати формулу суми перших членів арифметичної прогресії:
. де - перший, а - енний член прогресії.
Оскільки в межах послідовностей «ен» завжди прагне до «плюс нескінченності», то не дивно, що невизначеність - одна з найпопулярніших.
І багато прикладів вирішуються точно так же, як межі функцій!
Як обчислити ці межі? Дивіться Приклади №№1-3 уроку Межі. Приклади рішень.
А може бути що-небудь складніше зразок. Ознайомтеся з Прикладом №3 статті Методи вирішення меж.
З формальної точки зору різниця буде лише в одній букві - там «ікс», а тут «ен».
Прийом той же - чисельник і знаменник треба розділити на «ен» в старшій ступеня.
Також в межах послідовностей досить поширена невизначеність. Як вирішувати межі начебто можна дізнатися з Прикладів №11-13 тієї ж статті.
Щоб розібратися з межею. зверніться до Прикладу №7 урокаЗамечательние межі (другий чудовий межа справедливий і для дискретного випадку). Рішення знову буде як під копірку з різницею в єдиній літері.
Наступні чотири приклади (№№3-6) теж «двулики», але на практиці чомусь більше характерні для меж послідовностей, ніж для меж функцій:
Знайти межа послідовності
(1) В чисельнику двічі використовуємо формулу.
(2) Наводимо подібні доданки в чисельнику.
(3) Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на ( «ен» в старшій ступеня).
Як бачите, нічого складного.
Знайти межа послідовності
Це приклад для самостійного рішення, формули скороченого множення на допомогу.
В межах з показовими послідовностями застосовується схожий метод поділу чисельника і знаменника:
Знайти межа послідовності
Рішення оформимо за тією ж схемою:
(1) Використовуючи властивості ступенів. винесемо з показників все зайве, залишивши там тільки «ен».
(2) Дивимося, які показові послідовності є в межі: і вибираємо послідовність з найбільшим підставою. З метою усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на.
(3) В чисельнику і знаменнику проводимо почленное розподіл. Оскільки є нескінченно спадної геометричної прогресії. то вона прагне до нуля. І тим більше до нуля прагне константа, поділена на зростаючу прогресію. Робимо відповідні позначки і записуємо відповідь.
Знайти межа послідовності
Це приклад для самостійного рішення.
Якось незаслужено залишився в забутті стильний почерк, притаманний тільки межі послідовності. Пора виправити ситуацію:
Знайти межа послідовності
Рішення. щоб позбутися від «вічного суперника» потрібно розписати факторіали у вигляді творів. Але перш, ніж приступити до математичного графіті, розглянемо конкретний приклад, наприклад.
Останнім множником в творі йде шістка. Що потрібно зробити, щоб отримати попередній множник? Відняти одиницю: 6 - 1 = 5. Щоб отримати множник, який розташовується ще далі, потрібно з п'ятірки ще раз відняти одиницю: 5 - 1 = 4. І так далі.
Не турбуйтеся, це не урок в першому класі корекційної школи, насправді ми знайомимося з важливим і універсальним алгоритмом під назвою «як розкласти будь-факторіал». Давайте покінчимо з найбільш злісним Флудер нашого чату:
Очевидно, що останнім множником в творі буде.
Як отримати попередній множник? Відняти одиницю:
Як дістати прадідуся? Ще раз відняти одиницю.
Ну і ще на один крок просунемося вглиб:
Таким чином, наше чудовисько розпишеться в такий спосіб:
З факторіалами чисельника все простіше, так, дрібні хулігани.
(1) Розписуємо факторіали
(2) В чисельнику ДВА доданків. Виносимо за дужки все, що можна винести, в даному випадку це твір. Квадратні дужки, як я десь пару раз говорив, відрізняються від круглих дужок тільки своєю квадратною.
(3) Скорочуємо чисельник і знаменник на .... ... хммм, флуду тут і справді багато.
(4) Спрощуємо чисельник
(5) Скорочуємо чисельник і знаменник на. Тут певною мірою пощастило. У загальному випадку вгорі і внизу виходять пересічні многочлени, після чого доводиться виконувати стандартне дію - ділити чисельник і знаменник на «ен» в старшій ступеня.
Більш підготовлені студенти, які легко розкладають факторіали в розумі, можуть вирішити приклад значно швидше. На першому кроці ділимо почленно чисельник на знаменник і подумки виконуємо скорочення:
Але спосіб з розкладанням все-таки більш грунтовний і надійний.
Знайти межа послідовності
Це більш приклад для самостійного рішення.
Бажають набити руку на розглянутих типах меж можуть звернутися до збірки Кузнєцова. Близько 150-ти прорешать прикладів можна знайти тут >>> (завдання №№2-6).
Як і в будь-якому суспільстві, серед числових послідовностей трапляються екстравагантні особистості.
Теорема. твір обмеженою послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала функція.
Якщо вам не дуже зрозумілий термін «обмеженість», будь ласка, вивчіть статтю про елементарні функції і графіках.
Аналогічне теорема справедлива, до речі, і для функцій: твір обмеженою функції на нескінченно малу функцію є нескінченно мала функція.
Знайти межа послідовності
Рішення. послідовність - обмежена. а послідовність - нескінченно мала, значить, за відповідною теоремі:
Просто і зі смаком. Так-так, так і оформляємо.
А чому б і ні?
Знайти межа послідовності
Це приклад для самостійного рішення.
Ще дві поширені обмежені функції - арктангенс і арккотангенс:
Аргументи всіх перерахованих тригонометричних функцій можуть бути заповнені знатної абракадаброю, але це не повинно призводити до паніку - істотно те, що послідовності обмежені!
Іноді в ході обчислення меж послідовностей доводиться використовувати досить несподівані прийоми:
Знайти межа послідовності
Рішення. невизначеність можна розкрутити двома способами. Перший шлях - черезпервий чудовий межа. який справедливий, як не дивно, і для послідовностей:
(1) Використовуємо формулу.
(2) Позбавляємося від косинуса, вказуючи, що він прагне до одиниці.
(3) Невизначеність залишається невирішеним, але тепер замість тангенса у нас синус, і з'являється можливість організувати 1-ий чудовий межа. Проводимо стандартний штучний прийом: ділимо все вираз на і, щоб нічого не змінилося, домножаем на.
(4) Використовуємо перший чудовий межа. при цьому, в качествебесконечно малої величини виступає. яка, зрозуміло, прагне до нуля при.
Прокатує і 2-ий метод вирішення - через чудові еквівалентності:
Замінимо нескінченно малу послідовність еквівалентної:
при.
В даному випадку
Знайти межа послідовності
Це приклад для самостійного рішення. Тут аргумент арктангенса також нескінченно малий. оскільки його знаменник більш високого порядку зростання. ніж чисельник. Вирішувати, зрозуміло, значно вигідніше через чудову еквівалентність.
Обидва розглянутих прикладу справедливі і для функцій, схожі межі також розібрані в прикладах 12-13 уроку про нескінченно малих величинах.
На закінчення уроку розглянемо ще одне важливе питання: