У мене зараз часу немає. Обіцяю цікавіші приклади пізніше. А зараз ось:
1. Само. Спробуйте виділити хоча б одне кінцеве підпокриття з наступного його відкритого покртитія:
(Спростити)
(Заодно перевірте, що це дійсно відкрите покриття.)
1. Тут не можна виділити кінцевого підпокриття, тому що саме безліч нескінченно, а є приклад того ж, але при цьому безліч звичайно?
Трохи більше цікавий приклад компактного безлічі в - це безліч. Доведіть, що воно компактно.
Введемо на нескінченній множині метрику:, якщо, в інших випадках. Отримане метричний простір некомпактно. Пред'явіть його покриття відкритими кулями, яке не містить кінцевого покриття.
Єдине, що мені спадає на думку, щоб довести, це скористатися теоремою про кінцевий покритті, вона каже, що множин з компактно тоді і тільки тоді, коли воно обмежене і замкнуто.
Це безліч обмежена, так як складається з сходящейся послідовності і. Ну а те що воно замкнуто це ніби як очевидно, але довести це строго я не можу. За ідеєю нам потрібно довести, що будь-яка його гранична точка міститься в цій множині.