Транспортування сільноточних релятивістських електронів
1. Релятивістські рівняння для електронів.
Перш ніж перейти до основної теми лекції згадаємо деякі співвідношення релятивістської механіки. Повна енергія електрона E дорівнює сумі енергії спокою і кінетичної енергії Ek.
тут m - маса спокою електрона, а з - швидкість світла. Якщо кінетичну Ek енергію електрон отримав пролетівши від катода до анода, то Ek = eU. де U - напруга на діоді. В цьому випадку
Е = m з 2 + е U. (2)
Релятивістським фактором g називається коефіцієнт в рівнянні
Звідси з (2) і (3) випливає, що
g = 1 + e U / mc 2. (4)
Для електрона mc 2 = 511 кеВ, тому, якщо напруга на діоді одно 511кВ, то g = 2; якщо 1022кВ, то g = 3. Для нерелятівістскіх електронів е U < Інший вираз для g має вигляд де v - швидкість електрона. З виразу (5) слід, що швидкість електрона дорівнює Звідси отримуємо, що для електрона з кінетичної енергією 511 кеВ, (g = 2), його швидкість дорівнює v = з × Ö 0,75 = 0,866 с. Якщо Е = тисяча двадцять два кеВ (g = 3), то v = 0,943с. Нагадаємо, що з = 3 × 10 8 м / с. Очевидно, що при g ® ¥. v ® c. Нагадаємо ще важливу формулу для імпульсу електрона Якщо нерелятивістський електрон рухається поперек силових ліній магнітного поля, то він буде обертатися в площині перпендикулярній силової лінії магнітного поля з частотою Тут В - індукція магнітного поля, яка вимірюється в теслах. Релятивістський електрон обертається з частотою Радіус кола дорівнює Якщо у електрона є компонента швидкості уздовж силової лінії магнітного поля v 11. то електрон буде рухатися по спіралі навколо силової лінії з радіусом за формулою (10) і поздовжнім кроком Приклад. Електрон рухається під кутом 45 0 до силової лінії магнітного поля. Нехай g = 2 (Ек = 511 кеВ), В = 1 Тл. З (6) отримуємо v = 0,866 с, v ^ = vII = 0,61 с. Траєкторія електрона згідно (10) - спіраль з радіусом R = 0,2 c м, крок спіралі відповідно до (11) дорівнює LII = 1,25 см. З цього прикладу випливає, що магнітне поле В = 1 Тл, змушує рухатися електрон вздовж силової лінії магнітного поля віддаляючись від неї не більше, ніж на 0,2 см. 2. Граничний вакуумний ток Потужнострумовий релятивістський електронний пучок формується в плоскому діоді. У СВЧ-електроніці використовуються пучки, які пролітають через різні вакуумні камери, виконані зазвичай з металу. Найпростіший спосіб витягти пучок з діода полягає у виготовленні анода з тонкої металевої фольги. Наприклад, фольга з титану товщиною 50 мкм для електрона з Ек = 511кеВ має прозорість близько 90%. Електрони, що пролетіли крізь фольгу, будуть рухатися за інерцією. На кожен електрон буде діяти сила відштовхування від всіх інших електронів пучка. Тому, пучок почне розширюватися в радіальному напрямку. Для того, щоб пучок зберігав свій поперечний розмір, вся система поміщається в соленоїд. У сильному поздовжньому магнітному полі всі електрони рухаються уздовж силової лінії магнітного поля (вздовж осі соленоїда) і поперечний розмір пучка зберігається. Як було показано вище величина індукції магнітного поля повинна бути Отже, вирішимо завдання. Через лівий металевий торець в металеву трубу радіуса R уздовж осі інжектується трубчастий електронний пучок з радіусом rb і товщиною стінки D rb < На малюнку 2.1 показані силові лінії власного електричного поля електронного пучка. На влёте в трубу на електрони діє гальмує електрони поздовжня компонента Е-поля. У середній частині труби поле має тільки радіальну компоненту і швидкість електронів не змінюється. На правому торці труби електрони прискорюються до значення початкової енергії, яку вони мали на влёте в трубу. Фізична причина обмеження струму полягає в тому, що електрони, які заповнили трубу, гальмують електрони, які тільки що влетіли в трубу через лівий торець. Якщо щільність електронів буде настільки велика, що при зльоті в трубу створюється настільки велике електричне поле, яке здатне загальмувати електрони до нульового значення швидкості, то це значення щільності електронів буде граничним. Це в свою чергу призведе до обмеження струму, що транспортується через трубу. Для того щоб розрахувати величину граничного струму необхідно вміти розраховувати величину поздовжньої компоненти електричного поля Е z у лівого торця труби. Очевидно, що величина напруженості електричного поля буде пропорційна щільності електронів, але розрахувати залежність Е z (z) досить важко. Звернемо увагу на те, що ефект гальмування електронів поздовжнім полем можна розрахувати двома способами, перший # 8209; це розрахунок інтеграла. тут D Е k # 8209; зміна кінетичної енергії електрона. Другий спосіб виявляється більш простим, він заснований на використанні рівняння D Е k = eU 0 - e Ф, де eU 0 -кінетіческая енергія електрона на вході в дрейфову трубу, Ф - потенціал в пучку далеко від лівого торця труби. Потенціал Ф в цій точці легко визначити за формулою оскільки в цьому місці існує тільки радіальна компонента електричного поля Er. Використовуючи теорему Гаусса отримуємо формулу для радіальної компоненти електричного поля де Q # 8209; заряд одиниці довжини пучка, а різниця потенціалу між трубою і пучком згідно з (12) дорівнює: Для скорочення запису позначимо: Тоді рівняння (15) перепишеться у вигляді Тепер запишемо закон збереження енергії електрона. На влетівши в трубу електрон має повну енергію Е = mc 2 + eU 0 = mc 2 g 0. далеко від торця він має повну енергію mc 2 g + Еф. Таким чином, mc 2 g 0 = mc 2 g + Еф. (18) Струм пучка дорівнює Використовуємо також співвідношення (6) для швидкості електрона Таким чином, ми маємо 4 рівняння (17, 18, 19, 20) і 5 невідомих I. Q. Ф, g і v. Це дозволяє знайти функцію I (Q), при відомих параметрах U 0. R і rb. Ця функція має вигляд Виявляється функція I (Q) має максимум при деякому значенні Q 0. Параметр Q можна змінювати в експерименті за рахунок ізменненія величини інжектіруемого струму. Відзначимо, що при малих значеннях Q. поле просторового заряду мало і нахил кривої I (Q) дорівнює v 0. Швидкість електронів v 0 визначається енергією електронів на влетівши в трубу. Потім збільшення заряду Q призводить до зменшення швидкості електронів і відповідно до уповільнення зростання струму при збільшенні Q. Нарешті, при Q = Q 0 додавання заряду не приводить до збільшення струму. Значення струму при Q = Q 0 і є граничний вакуумний ток. Знайдемо значення Q. при якому струм пучка досягає максимального значення. Для цього, користуючись рівнянням (21), знайдемо похідну З умови. отримуємо Підставляючи це значення Q 0 в рівняння (21) отримуємо формулу для граничного струму. Формула (24) означає, що трубчастий пучок з струмом перевищує величину I 0 при заданій початковій енергії електронів і заданої геометрії пучка і труби поширюватися уздовж труби не може. 3. Магнітоізолірованний діод Нехай на осі металевої труби радіуса R розташований торець металевого циліндра радіуса r катод .. який знаходиться під негативним потенціалом щодо труби - U. Нехай також центральний провідник може емітувати електрони і щільність струму емісії необмежена. Виявляється, що в цих умовах при накладенні поздовжнього нескінченно великого магнітного поля формується трубчастий пучок з rb = r катод і D r < При енергіях електронів 0,5 - 1,5 МеВ ток магнітоізолірованного діода менше граничного струму на 30 - 20%. Як правило, в лампах НВЧ-електроніки бажано мати пучок з малим потенціалом, так як при цьому кінетична енергія електронів близька до максимального значення е U 0. Тому, типова геометрія експерименту в СВЧ-електроніці має вигляд У трубі 1 c радіусом R 1 формується струм I згідно з формулою (25). Потім електронний пучок потрапляє в трубу 2 з меншим радіусом R 2. Потенціал в пучку в трубі 2 дорівнює Отже, така схема дійсно дозволяє отримати електронний пучок в трубі R 2 c кінетичної енергією електронів близькою до величині eU 0. тобто з максимальною енергією. 4. Діагностика РЕП Напруга на катоді. Величина напруги зазвичай перевищує 500 кВ. Вимірювальним приладом імпульсу напруги є осцилограф, на який можна подавати максимальна напруга 100 В. Тому необхідний дільник напруги. Використовуються два подільника: резистивний і ємнісний. При виготовленні резистивного подільника виникають такі проблеми. Довжина резистора, на якому падає майже повне напруга повинна бути досить велика, щоб не було пробою по його поверхні. При U = 500 кВ довжина резистора повинна бути 50 см, що призводить до проблем при конструюванні потужнострумового прискорювача. При длительностях імпульсу Т <100 нс получил широкое распространение емкостный делитель. Високовольтний вивід прискорювача завжди виконаний в коаксіальному вигляді. Між високовольтним центральним провідником з радіусом r 0. мають потенціал катода, і зовнішньої заземленої трубою радіусом r 2. розташовується ізольоване кільце з радіусом r 1 і довжиною l. Вимірюється напруга на кільці. Якщо конденсатор С2 не підключений до осцилографа, то Якщо конденсатор С2 приєднаний до опору R. то він буде розряджатися і при t ® ¥ напруга Uc 2 на конденсаторі С2 дорівнюватиме нулю. Тому, для того щоб дільник в точності відтворював форму напруги на катоді U 0 (t) = UR (t), необхідно RC 2 >> T. де Т тривалість імпульсу. Зазвичай R одно хвильовому опору кабелю (50 або 75 Ом), так як при цьому не виникає відображення від цього опору. Ємності конденсаторів C 1 і C 2 відповідно рівні: тут приведена наближена формула, щоб звернути увагу на той факт, що при r 2 - r 1 < Нехай r 1 / r 0 = e. r 2 = 10 см, e = 2,2 (масло), R = 50 Ом, T = 100 нс. Потрібно забрати коефіцієнт ділення 1000, тоді отримуємо дані для r 1 з умови (29) 1 / ln r 2 / r 1 @ = 1000, r 2 - r 1 = 0,1 мм. Для виконання умови RC 2 >> T вибираємо довжину кільця l = 20 см, при цьому відповідно до (28) C 2 = 3 10 -8 Ф і отже RC 2 = 1000 нс >> T = 100 нс. Вимірювання струму пучка Опір R 1. має задовольняти умові Ib × R 1 <
Для l = 1 см і d = 0,3 см, отримуємо L = 3 × 10 -9 Гн і L / R 1 = 30 нс. Такий шунт можна використовувати для імпульсів з тривалістю значно перевищує 30 нс. Існує ще одна проблема при розробці шунта. Необхідно, щоб опір шунта було однаково на різних частотах змінного струму. Це дозволяє точно передати форму імпульсу. Відомо, що високочастотний струм протікає по зовнішньому шару циліндричного провідника. Товщина цього шару, званого скін - шаром, дорівнює: де s # 8209; провідність матеріалу резистора. Необхідно, щоб товщина резистора була менше товщини скін-шару, при цьому опір резистора не буде залежати від частоти. Це також дозволяє вимірювати опір шунта на постійному струмі, тобто звичайними вимірювачами опору. Нехай потрібно виміряти імпульс струму пучка Ib = 10 кА з фронтами 10 нс. Покажемо, що пропонована нижче конструкція задовольняє вимогам перерахованим вище. Електронний пучок потрапляє на колектор, потім струм йде по трубі довжиною l = 1 см, діаметром d = 50 мм, виконаний з тонкої металевої фольги (нержавіюча сталь), з питомим опором r = 7,5 × 10 -7 Ом × м, з товщиною D = 5 мкм, з опором R 1 і потім повертається по трубі з діаметром D = 51 мм. Вимірюється напруга на опорі R 1. Напруга на шунт одно Ib R 1 = 96 В, тобто умова Ib × R 1 <
Товщина скін-шару для частоти w = 2 p / 40 × 10 -9 для нержавіючої сталі з провідністю s = 1,33 × 10 6 (Ом м) -1 дорівнює 95 мкм, тобто вона більше товщини фольги D = 5 мкм. Індуктивність шунта дорівнює Обчислимо L / R 1 = 4 × 10 -9. тобто умова L / R 1 Вимірювання радіального профілю пучка Для вимірювання профілю струму по радіусу використовуютьсясекціонірованние колектор. Приймається кілька сигналів з різних ділянок колектора, що дозволяє визначити jb (r). Докладно ці методи обговорювати не будемо. Для юстування пучка, наприклад, для установки співвісності пучка і труби застосовують метод мішеней. Практично всі релятивістські сільноточние пучки становлять слід на мішені. Розглянемо приклад. Нехай E = 500 кеВ, Ib = 2 кА, D t = 50 нс, площа перетину пучка S = 1 см 2. тоді енергія запасена в пучку дорівнює W = 5 × 10 5 еВ × 10 3 А × 5 × 10 -8 с = 50 Дж. 50 Дж »12 кал, тобто це кількість тепла здатне нагріти 1 г води на D T = 12 градусів. Електрони пролітають в мішені з заліза D = 0,01 см, тобто пучок розігріває масу r × S × D = 7,8 г / см 3 × 1 см 2 × 0,01 см = 0,078 м Теплоємність заліза з = 0,1 кал / г × град, звідси випливає, що DT = Q / mc = 1 550 град. Таким чином, дійсно досягається температура плавлення заліза. У цьому розрахунку передбачалося, що тепло не встигає вийти з шару, в якому він займається. Покажемо, що це має місце при тривалості імпульсу в десятки наносекунд. Кількість тепла що пройшло через площу S за час D t при градієнті температур D T / D x. Q = k × S × D T / D x × D t = 0,19 × 1 × 1550 / 0,01 × 50 × 10 -9 = 1,5 × 10 -3 кал. де k = 0,19 кал / c м × с × град коефіцієнт теплопровідності нержавіючої сталі. Число 1,5 × 10 -3 <12, т.е. действительно тепло из слоя 0,01 см не встигає піти за час 50 нс. Пробіг електрона з енергією 500 кеВ в графіті 0,1 см і температура кипіння 4200 0 С, тому на графіті пучок, як правило, слідів не залишає. Тому колектор струму пучка зазвичай виготовляють з графіту. Експериментально також вимірюється розкид швидкостей електронів по куту. Але ці методики ми тут розглядати не будемо.
У ланцюг струму колектора включається опір R 1.Схожі статті