Внутрішні сили і метод їх визначення
При дії на тіло зовнішніх сил воно деформується. Отже, змінюється взаємне розташування частинок тіла, в результаті чого виникають додаткові сили взаємодії між частинками. Ці сили взаємодії в деформованому тілі будемо називати внутрішніми силами (зусиллями). Визначення внутрішніх сил особливо важливо при оцінці міцності біологічного об'єкта.
Для визначення внутрішніх сил використовується метод перетинів. Розглянемо суть цього методу на прикладі з прямим призматическим стрижнем.
Нехай потрібно визначити внутрішні сили в довільному перерізі а-а стержня, що знаходиться в рівновазі в просторі під дією системи зовнішніх сил Fi (рис.1, а).
Подумки розсічемо стрижень в перерізі а-а площиною, перпендикулярної поздовжньої осі, відкинемо одну частину, наприклад, частина "В", і розглянемо решту "А" (рис.1, б).
Частина "А" буде знаходитися в рівновазі, якщо до неї додати систему сил, розподілених по площі перетину і замінюють дію відкинутої частини "В". Це і є внутрішні сили в перерізі а-а.
Відповідно до закону про рівність дії і протидії, внутрішні сили, які прикладені до частини "А" в перерізі а-а, рівні і протилежні за напрямком внутрішнім силам, що діють на частину "В" в тому ж перерізі.
Будь-яка система сил, розподілених по якомусь закону по площі поперечного перерізу, може бути приведена до головного вектору R і вектору головного моменту М. За центр їх приведення приймається центр ваги поперечного перерізу (рис.1, б).
Головний вектор R розкладається на дві складові: поздовжню силу N, спрямовану вздовж осі стрижня, і поперечну силу Т, що діє в площині поперечного перерізу (рис.1, в).
Для розрахунків зручно силу Т, в свою чергу, розкласти на дві складові поперечні сили QZ і QY. збігаються з напрямку з відповідними осями в площині перетину.
Головний момент М розкладається на три складових: момент МХ. чинний в площині поперечного перерізу (щодо поздовжньої осі бруса Х) і званий крутним моментом, і моменти МZ і МY. діючі щодо двох взаємно перпендикулярних осей Z і Y, що проходять через центр ваги перерізу, що лежать в площині поперечного перерізу, і звані изгибающими моментами.
Отже, в площині поперечного перерізу сили взаємодії частин А і В характеризуються шістьма внутрішніми силовими факторами: N - поздовжня (осьова) сила, QY і QZ - поперечні сили, МХ - крутний момент, МZ і МY - згинальні моменти.
Числові значення цих факторів знаходяться з шести рівнянь рівноваги: розглянутої частини стержня:
З перших трьох рівнянь рівноваги соответсвтенно знаходимо зусилля N, QY і QZ. а з трьох останніх - відповідно моменти MX. MY. MZ.
Зауважимо, що знак внутрішніх силових факторів, що отримується при рішення рівнянь рівноваги, вказує на правильність (знак плюс) або неправильність (знак мінус) обраних напрямків внутрішніх зусиль.
Таким чином, метод перетинів дає можливість визначити в перерізі напрям і значення равнодействующих внутрішніх зусиль.
^ ОСНОВНІ ПРАВИЛА СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ РІВНОВАГИ:
Проекція сили на вісь дорівнює добутку сили на косинус кута між напрямком сили і позитивним напрямом осі.
Якщо сила ┴ осі, то її проекція на вісь дорівнює 0.
Момент сили відносно осі дорівнює добутку проекції цієї сили на площину, ┴ осі, на плече сили.
Момент сили відносно осі дорівнює нулю якщо:
сила паралельна осі;
лінія дії сили перетинає вісь.
Застосування методу перетину для визначення значень і напрямів внутрішніх зусиль розглянемо на наступному прикладі.
Для просторового стержня (рис 2, а) визначити значення і напрямки внутрішніх зусиль в перетинах II і II-II.
Застосуємо метод перетинів. Розсічений просторовий стрижень в перерізі I-I площиною, перпендикулярній осі стержня ВС (рис 2, б). Частина стрижня, що містить закладення відкинемо і дію її на решту замінимо шістьма внутрішніми зусиллями N, QX. QY і MZ. MX. MY. прикладеними в перерізі I-I.
У стрижні, закріпленому за допомогою жорсткої закладення, доцільно залишати ту частину стрижня, яка не закріплена, так як не потрібно визначати опорні реакції.
Далі виберемо прямокутну систему координат X, Y, Z, поєднавши початок координат з центром ваги перерізу I-I. ^ Вісь Z направимо уздовж осі розсіченого стержня ВС, а осі X, Y розташуємо в площині його поперечного перерізу.
Внутрішні зусилля N, QX. QY направимо уздовж відповідних позитивних осей X, Y, Z а моменти MZ. MX. MY - по ходу годинникової стрілки при погляді на решту з боку позитивного спрямування тих же осей. Такі напрямки внутрішніх силових факторів будемо вважати позитивними.
Частина стрижня, навантажена зовнішніми силами F, 2F і внутрішніми, прикладеними в перерізі I-I, знаходиться в рівновазі.
Для цієї частини стрижня складемо шість рівнянь рівноваги, з вирішення яких визначимо внутрішні зусилля в перерізі I-I.
Отже, в перерізі I-I діє чотири внутрішніх зусилля (QX = 0, MY = 0), причому N і MZ в напрямку, протилежному до прийнятого, дійсні напрямки їх показані пунктиром.
^ Для перетину II-II визначити значення і напрямки внутрішніх зусиль самостійно. Q X = - 2 F; Q Y = 0; N = F; M X = - F а; M Y = 4 F а; M Z = 0.
Як видно з розглянутого прикладу, внутрішні зусилля, що виникають в поперечних перетину стрижня, змінюються уздовж поздовжньої його осі. Для більш наочного уявлення характеру зміни внутрішніх зусиль уздовж поздовжньої осі Z будують їх графіки, які називаються епюрами.
Епюри, як правило, будують для того, щоб намітити небезпечні перетину, тобто перетину, в яких внутрішні зусилля досягають максимальних значень. При побудові епюр спочатку встановлюють межі ділянок, в межах яких внутрішні зусилля змінюються по одній закономірності. Межами таких ділянок є перетину, де прикладені зовнішні зосереджені зусилля (момент сили) або починається і закінчується розподілене навантаження, а також перетину, в яких є перелом осі стержня.
У деяких випадках частина складових внутрішніх силових факторів дорівнює нулю. Залежно від цього розрізняють наступні прості види деформацій:
Якщо відмінним від нуля є лише поздовжня сила N, а решта внутрішні силові фактори дорівнюють нулю, має місце центральне розтягнення-стиснення
Якщо відмінним від нуля є лише крутний момент, а інші внутрішні силові фактори дорівнюють нулю, то має місце кручення;
Якщо відмінними від нуля є поперечна сила QY і вигинає момент МZ (рис.1, в), а інші внутрішні силові фактори дорівнюють нулю, має місце поперечний вигин (за умови, що осі Z і Y є головними осями інерції і центр ваги збігається з центром вигину).
Центральне розтягання - стискання
Центральним розтягуванням (або стисненням) називається такий вид деформації, при якому в поперечних перетинах стрижня виникає відмінний від нуля тільки один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила, а всі інші внутрішні силові фактори дорівнюють нулю. Це буває у випадках, коли лінія дії рівнодіючої зовнішніх сил збігається з поздовжньою віссю стержня.
Правило знаків: розтягують поздовжні сили прийнято вважати позитивними, а стискають - негативними.
Побудувати епюри поздовжніх сил для стержня, навантаженого поздовжніми силами
Стрижень має дві ділянки: I і II. Знайдемо закономірності зміни поздовжньої сили на цих ділянках II. За початок координат приймемо крайнє ліве розтин.
Використовуємо метод перетинів: в довільних місцях на ділянках I і II проведемо перетину 1-1 і 2-2 і кожен раз будемо відкидати праву частину стрижня. Решта ліві частини врівноважити позитивними поздовжніми силами N1 і N2. Для решти лівих частин запишемо рівняння рівноваги.
За отриманими значеннями побудуємо епюру поздовжніх сил.
З отриманого рішення видно, що в межах кожної ділянки поздовжня сила залишається постійною, тобто не залежить від поздовжньої координати z, і на ділянці II замість передбачуваного розтягування буде стиснення.
Побудувати епюру поздовжніх сил для стержня змінного перерізу від дії власної ваги. Питома вага матеріалу γ. висота стержня l ширина стрижня в місці закладення b. висота перетину h
Проведемо переріз на відстані z від нижнього кінця стрижня. Ширину стержня в цьому перерізі знайдемо з рівності. Звідки. Вага нижній частині стержня становить.
Розглянемо рівновагу нижній частині стержня
; . Епюра поздовжньої сили описується квадратної параболою. При z = 0 = 0, при z = l.
Подовження або вкорочення стержня довжиною в результаті розтягування або стиснення, відповідно до закону Гука, визначається за формулою
Якщо перетин стрижня і поздовжнє сила або одна з цих величин змінюються безперервно (наприклад, стрижень у вигляді конуса або трикутної призми і т.д.), то зміна довжини стрижня слід визначати за формулою
В окремому випадку стержня постійного перетину, що знаходиться під дією власної ваги, зміна його довжини визначається за формулою
Стрижень, який навантажений моментами, що діють в площинах, перпендикулярних його поздовжньої осі, відчуває кручення. При цьому в поперечному перерізі стержня виникає тільки одне внутрішнє зусилля - крутний момент MZ. інші силові фактори дорівнюють нулю.
Крутний момент MZ вважають позитивним, якщо при погляді на перетин з боку позитивного напрямку осі Z, крутний момент спрямований по ходу годинникової стрілки.
Приклад 2.4.
Побудувати епюру крутних моментів для стержня, зображеного на малюнку.
Перетин 1-1 ділянки I
Перетин 2-2 ділянки II
^
прямий вигин
Якщо зовнішнє навантаження і реактивні зусилля лежать в одній площині, яка збігається з віссю симетрії перетину, то стрижень буде згинатися в тій же площині. Такий вигин називається плоским.
Якщо при плоскому вигині зовнішнє навантаження ┴ поздовжньої осі, то в поперечному перерізі стержня виникає тільки поперечна сила і згинальний момент. Такий вигин називається поперечним.
Побудувати епюри поздовжньої і поперечної сили, а також згинального моменту для криволінійного стержня радіуса R, що становить 1/4 частини кола.
Проведемо переріз 1-1 в довільній точці, положення якої визначається кутом φ, і розглянемо рівновагу лівої частини криволінійного стержня. Врівноважити залишилася ліву частину внутрішніми зусиллями, як показано на малюнку, використовуючи полярну систему координат.
Подумки перенесемо сили 2F і F в перетин 1-1, зберігаючи їх напрямок. Розкладемо сили 2F і F у напрямку осей у і z.
Запишемо рівняння рівноваги.
Обчислимо значення поздовжньої і поперечної сили, а також згинального моменту при різних кутах φ:
Епюри N, Q і M представлені на малюнках в, г, д.
Правило знаків при прямому згині:
Поперечну силу вважати позитивною, якщо вона спрямована так, що прагнути повернути елемент стержня за годинниковою стрілкою;
Згинальний момент вважати позитивним, якщо він згинає елемент стержня опуклістю вниз, викликаючи розтягнення нижніх волокон.
Зрушенням називається деформація, при якій всі плоскі шари твердого тіла. паралельні деякій площині (площині зсуву), що не викривляються і не змінюючись в розмірах, зміщуються паралельно один одному
Контрольні питання по темі
У чому сутність методу перетинів?
Які внутрішні зусилля можуть виникати в поперечних перетинах стрижня в загальних випадках?
Яке розташування осей системи координат є кращим при деформації стрижнів?
Що називається епюр внутрішнього зусилля і для чого вона будується?
Яке правило знаків прийнято для поздовжньої сили?
Яке правило знаків для крутного моменту?
Який вигин називається поперечним і які внутрішні зусилля виникають у поперечних перетинах стрижня при поперечному вигині?
Які правила знаків прийняті для поперечної сили і згинального моменту?
Які внутрішні зусилля можуть виникати в поперечних перетинах криволінійних стрижнів?
Як визначається нормальна напруга в поперечному перерізі стержня при розтягуванні-стисненні?
Лекція 2 Диференціальне рівняння рівноваги Ейлера
При цьому сили внутрішнього тертя відсутні, що дозволяє вважати рідина ідеальною. У цьому випадку на рідину діють сили.