Примітка. В даному уроці викладені завдання з геометрії про медіані трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Майже напевно курс буде доповнений.
Завдання.
Сторони трикутника дорівнюють 8, 9 і 13 сантиметрів. До найбільшої стороні трикутника проведена медіана. Визначте медіану трикутника виходячи з розмірів його сторін.
Завдання має два способи вирішення. Перший, який не подобається вчителям середньої школи, але є найбільш універсальним.
Застосуємо теорему Стюарта, згідно з якою квадрат медіани дорівнює одній четвертій від суми подвоєних квадратів сторін з якої відняли квадрат боку, до якої проведена медіана.
mc 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4
Другий спосіб вирішення, який викладачі в школі люблять - це додаткові побудови трикутника до паралелограма і рішення через теорему про діагоналях паралелограма.
Продовжимо боку трикутника і медіану добудувавши їх до паралелограма. В цьому випадку медіана трикутника буде дорівнює половині діагоналі отриманого паралелограма, а дві сторони трикутника - його бічних сторонах. Третя сторона трикутника, до якої була проведена медіана, є другою діагоналлю отриманого паралелограма.
Згідно з теоремою, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його сторін.
Позначимо діагональ паралелограма, яка утворена продовженням медіани вихідного трикутника як х, отримаємо:
2 (8 2 +9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 + x 2
x 2 = 290 - 169
x 2 = 121
х = 11
Оскільки шукана медіана дорівнює половині діагоналі паралелограма, то величина медіани трикутника складе 11/2 = 5,5 см