У цій статті будуть розглянуті всю нюанси методу початкових параметрів на декількох прикладах балок працюють на вигин. Почнемо зі знайомством з універсальною формулою, яка використовується в цьому методі. Візьмемо балку, навантажену зосередженої силою і моментом, а також розподіленим навантаженням.
Позначимо опорні реакції в жорсткому закладанні, що виникають під дією зовнішнього навантаження.
Для балки виберемо базу з лівого боку, від якої будемо відраховувати відстані до докладання зусиль, моментів, початку і кінця розподіленого навантаження. Базу позначимо літерою O і проведемо через неї систему координат.
Базу традиційно вибирають з лівого краю балки, але можна вибрати її та справа, тоді в рівнянні будуть протилежні знаки, це може стати в нагоді в деяких випадках, спростить трохи рішення. Розуміння, коли приймати базу зліва чи справа прийде з досвідом вирішення завдань на метод початкових параметрів. Після введення бази, системи координат і позначенні відстаней а, б, в, г записуємо формулу для визначення прогину (вертикального переміщення) вільного торця балки:
Тепер поговоримо про цю формулою, проаналізуємо так сказати. E - модуль пружності, I - момент інерції, Vk - прогин перетину K, V0 - прогин перетину О, 0 - кут повороту перетину О.
Не буду приводити висновок цієї формули, не хочу відлякувати читачів, просунуті студенти можуть ознайомитися з висновком самостійно в підручнику з опору матеріалів. Я тільки розповім про основні закономірності цієї формули і як записати її для будь-якого перетину, для будь-якої балки постійного перетину.
Отже, вивчаємо цю формулу з ліва направо. У ній завжди враховується прогин перетину збігається з нашою базою EIV0.
Твір EIθ0 завжди множиться на відстань від бази до перетину, прогин якого вираховується, в нашому прикладі це відстань р
Наступні компоненти цього рівняння враховують всю навантаження знаходиться зліва від розглянутого перерізу. У дужках у нас відстані від бази до перетину віднімається відстані від бази до відповідної сили або моменту, початку або кінця розподіленого навантаження.
Дужка, у випадку з зосередженими силами, зводиться в 3 ступінь і ділиться на 6. Якщо сила дивиться вгору, то вважаємо її позитивною, якщо вниз, то в рівнянні вона записується з мінусом.
У випадку з моментами скоба зводиться у 2 ступінь і ділиться на 2. Знак у моменту буде позитивний, коли він спрямований погодинної стрілки і негативним, відповідно, коли проти годинникової стрілки.
Тепер поговоримо про розподіленої навантаженні. Як вже говорилося в рівнянні методу початкових параметрів повинно враховуватися початок і кінець розподіленого навантаження, але кінець її збігається з перетином, прогин якого ми намагаємося обчислити, тому в рівняння потрапляє тільки її початок. Причому не важливо, навіть якщо б в цьому перерізі була б сила або момент, їх би так само не враховували. Нас цікавить все, що знаходиться зліва від розглянутого перерізу. Для розподіленого навантаження дужках зводиться в 4 ступінь і ділиться на 24. Правило знаків таке ж, як і для зосереджених сил.
Щоб вирішити рівняння нам знадобляться ще деякі дані. З першого погляду в рівнянні у нас спостерігається три невідомих: VK. V0 і θ0. Але дещо ми можемо почерпнути з самої схеми. Ми знаємо, в жорсткому закладанні не може бути ніяких прогинів, і ніяких поворотів, тобто V0 = 0 і θ0 = 0, це і є так звані початкові параметри або їх ще називають граничними умовами. Тепер, якби у нас була реальна задача, ми б підставили все чисельні дані і знайшли переміщення перетину K.
Якби балка була закріплена за допомогою шарнірно рухомої і нерухомої опори, тоді ми б прийняли прогини в опорах рівними нулю, але кут повороту в опорах був би вже відмінний від нуля. Більш докладно про це розказано в наступній статті присвяченій методу початкових параметрів на прикладі балки на двох опорах.
Мало не забув про ще одну величину, яку часто потрібно визначати методом початкових параметрів. Як відомо, при вигині поперечні перерізи балок крім того, що переміщуються вертикально (прогинаються) так ще й повертаються на якийсь кут. Кути повороту і прогини поперечних перерізів пов'язані диференціальної залежністю.
Якщо продифференцировать рівняння, яке ми отримали для прогину поперечного перерізу K, то отримаємо рівняння кута повороту цього перерізу: