Миттєвий центр швидкостей. центроїди
Доведемо теорему про існування миттєвого центру швидкостей: якщо кутова швидкість плоскої фігури відмінна від нуля, то миттєвий центр швидкостей існує.
Нехай швидкість довільної точки плоскої фігури відмінна від нуля (в іншому випадку точка А була б миттєвою центром швидкостей).
За знаком кутової швидкості визначаємо напрямок обертання плоскої фігури навколо точки А і в цьому напрямку відкладаємо від точки А відрізок перпендикулярно швидкості (рис. 5.6). Відповідно до формули (5.5) маємо
Так як швидкість перпендикулярна АР. то вектор паралельний. Крім того, відповідно до правила побудови відрізка АР вектори і мають протилежні напрямки. Модуль швидкості дорівнює
Два вектора, рівних за величиною і протилежно спрямованих, в сумі дорівнюють нулю. отже,
тобто швидкість точки Р дорівнює нулю.
Виберемо тепер за полюс точку Р. Тоді швидкість довільної точки А плоскої фігури знайдеться за формулою (рис. 5.7), (5.6) тому . Звідси випливає, що швидкості точок тіла при його плоскому русі розподіляються точно так же,
як і при обертальному русі. Роль нерухомої осі грає миттєва вісь, що проходить через миттєвий центр швидкостей перпендикулярно площині руху. Таким чином, швидкості всіх точок фігури перпендикулярні відрізкам, що з'єднує ці точки з миттєвим центром швидкостей, а модулі швидкостей пропорційні відстаням до миттєвого центру швидкостей.
Знаючи положення миттєвого центру швидкостей, можна знайти швидкості всіх точок плоскої фігури, якщо відома швидкість будь-якої її точки.
Справді, нехай відома, наприклад, швидкість точки А; тоді з рівності знайдемо і швидкість будь-якої точки В буде. Поєднавши кінець вектора з точкою Р. отримаємо епюру розподілу швидкостей уздовж відрізка РВ (див. Рис. 5.7).
Використовуючи основні властивості миттєвого центру швидкостей, можна визначити його стан і в інших випадках. На рис. 5.8 а показано, як знаходиться ця точка, коли відомі напрямки швидкостей двох точок. З точок А і В поставлю перпендикуляри до і. Точка Р знаходиться на їх перетині. Якщо швидкості точок А і В паралельні і, то для визначення миттєвого центру швидкостей слід скористатися властивістю пропорційності модулів швидкостей відстаням точок до миттєвого центру швидкостей. На рис. 5.8 б і в показано, як знаходиться миттєвий центр в цих випадках.
На рис. 5.8 г показаний випадок, коли і паралельні, але не перпендикулярна відрізку АВ. Очевидно, що в цьому випадку прямі; перпендикулярні і, перетинаються в нескінченності і миттєвого центру швидкостей не існує. Справді, на підставі теореми про проекціях швидкостей маємо. Звідси і. З формули (5.5) випливає, що при цьому, тобто кутова швидкість фігури дорівнює нулю. Значить, в даний момент часу швидкості всіх точок плоскої фігури рівні по модулю і напрямку і, отже, точки, лінійна швидкість якої дорівнює нулю, не існує.
При коченні без ковзання одного тіла по поверхні іншого (рис. 5.8 д) миттєвий центр швидкостей збігається з точкою дотику тел (так як при відсутності ковзання швидкість точки дотику дорівнює нулю).
Використання миттєвого центру швидкостей дуже часто спрощує рішення задачі.
На відміну від чисто обертального руху, при плоскому русі миттєвий центр швидкостей змінює, взагалі кажучи, своє становище на площині. Якщо наклеїти на фігуру, що здійснює плоский рух, аркуш паперу і в кожен момент часу проколювати голкою миттєвий центр швидкостей, то вийдуть дві серії відміток: одна на нерухомій площині, інша на аркуші, пов'язаному з фігурою.