Що конкретно вам незрозуміло в діагональному методі Кантора?
Нехай у нас є натуральні числа: (без нуля)
І, скажімо, якщо взяти дійсні числа, то число не матиме порядкового номера. Це до того, що будь-яке число з натурального ряду ми не взяли, воно буде міститися в безлічі дійсних чисел з дуже великим натуральним порядковим номером, який, в свою чергу, так само повинен міститися в натуральному ряді, і т.д. Але це ж говорить тільки про їх нескінченності.
Виписали ми "все" числа поспіль? Виписали. Знайшли число, якого немає в нашому списку? Знайшли.
У нас було чисел, а це буде.
Ми занумерованих всі дійсні числа. Припустимо, їх рівно. Ми пред'являємо число, відмінне від усіх наявних, але чому йому не можна зіставити натуральний номер? Адже в цьому випадку виходить, що натуральних чисел рівно, тобто це кінцеве безліч, і дійсні числа порахувати не можна.
Ще раз: які у вас питання по доведенню Кантора?
Пропоную такий план дій: ви приводите сюди доказ, яке намагаєтеся зрозуміти. Або даєте на нього посилання. Потім говорите, починаючи з якого символу вам стає незрозуміло (хоча б так). Або з чим ви не згодні.
Ми занумерованих всі дійсні числа. Припустимо, їх рівно.
Ми точно про одне й те ж безлічі говоримо? Моє все-таки трохи потужніший, ніж кінцеве.
Ви знаєте, що таке "доказ від протилежного". Ми припустили, що можемо пронумерувати всі числа з відрізка. Але виявилося, що не все - протиріччя. Значить, припущення було невірним. Шукати ще яке-небудь непронумерованому число вже не треба! Усе. Лом проплив. Пізно пити боржомі.
В общем-то, правильно.
Якщо Ви це міркування приймаєте, як здорове, обгрунтоване, відповідне ДІЙСНОСТІ (у всіх її проявах), то Вам діватися нікуди.
Вихід, звичайно, є (як завжди).
Вихід полягає в тому, щоб, ось це ось міркування, про доказі від противного, не визнати вірним (прикладів людей "налаштованих" на цю ДІЙСНІСТЬ повно, пасіонарії, з них проявилися у вигляді інтуіціоністов, конструктивістів та інше).
Тобто замість того, щоб вірити конформістам, про те, що Ваше конкретне припущення (нумерація) виявилося невірним в принципі. Ви повинні повірити в те, що їх (конформістів) спроби докази від протилежного помилкові.
Зробити це не так уже й важко.
Вони (конформісти) міркують наступним чином.
Якщо Ви припустили, що "занумерованих" всі дійсні числа, то з пред'явлення діагональної процедурою не пронумеровані числа слід його НЕ занумерованность в принципі (ніколи і нічим).
Хоча Їжакові ясно, що це заперечення стосується конкретної процедури саме Вашого способу нумерування, а не самого числа (нібито в принципі не занумеруемого ніколи і нічим.
Вони спростовують це тим, що конкретна процедура нумерування завжди збиткова, завжди є таке число. Ось саме це - брехня. Немає такого докази (без порочного кола, що посилається на саме такий доказ).
Вам слід звернути на це "доказ" пильну увагу, тому що воно невірно (або суперечливо).
Досить усвідомити, що вони (конформісти) ніколи і ніяк не зможуть довести, що всі процедури нумерування (які б вони не були), виключають можливість нумерації певної кількості, про який вони говорять, як про вже наявне, хоча ніколи і ніяк його пред'явити не можуть (і не зможуть ніколи і ніяк).
Тому, що саме такий спосіб ( "діагоналізації") докази вони і використовують стосовно дійсним числам.
Вам достатньо вказати, що Ваш спосіб нумерації є тим, що вони вважають дійсним числом і це призведе до протиріччя.
Спосіб нумерації не може бути дійсним числом, скажуть вони, тому що всі способи кінцеві.
А Ви запитаєте, що вони розуміють під кінцівкою. Нічого виразного сказати вони не зможуть (без посилання на "діагоналізації").
Їм (конформістам) нічого буде сказати, крім віри в існування якогось поділу між "багато і багато, звичайно і нескінченно", типу 5 - це мало, а 6 - вже багато. Ось тільки конкретного числа (5,6,7 .. "звичайно", "нескінченно") ніхто і ніколи не скаже. Якщо скажуть, що не існує, ну так значить і межі між кінцевим і нескінченним не існує. А якщо скажуть, що існує, ну значить і спосіб нумерації є такий, який "діагональний" метод не охоплює (через свою внутрішню суперечливість).
А тому і всі міркування про те, що нумерація "способу нумерації" є дійсним або натуральним числом, не є предметом, якого б то не було "докази", а цілком і повністю - предмет віри, більш-менш узгоджений з властивостями об'єктів теорії на цій вірі заснованої.
Так, раз тут почали з'являтися безграмотні твердження, які можуть топикстартер перешкодити розібратися з діагональним методом, доведеться написати докладне пояснення.
Як тут вже писали (не зовсім точно, але все ж), безліч називається рахунковим, якщо існує взаємно-однозначна відповідність між елементами безлічі і натуральними числами. Тобто якщо ми можемо кожному натуральному числу приписати елемент з номером, і при цьому кожен елемент буде пронумерований рівно один раз, тобто для кожного знайдеться рівно одне число таке, що.
Відповідно, для того, щоб довести, що безліч незліченно, потрібно довести, що такий нумерації не існує.
Для цього використовується метод докази від протилежного. Який формулюється таким чином: для того, щоб довести неіснування об'єкта, потрібно припустити його існування і вивести з цього припущення що-небудь абсурдне.
Варто відзначити, що метод докази від протилежного визнається, наскільки мені відомо, усіма течіями інтуїционізма і коструктівізма, хоча XXR і стверджує зворотне. Теорема Кантора таже доводиться в різних інтуіціоністсікіх і конструктивних теоріях. Доказ від противного і закон виключеного третього - це абсолютно різні речі, і інтуіціоністи відмовляються саме від закону виключеного третього.
Отже, припустимо, що є хороша нумерація, яка кожному натуральному ставить у відповідність дійсне, причому будь-яка дійсна відповідає якомусь натуральному. Тоді з використанням діагонального методу можна побудувати нескінченну дріб, яка відрізняється від в -м знаку. Ця дріб означає якесь дійсне число, яке з побудови відрізняється від кожного (я тут опустив обов'язкове зауваження про нулях і дев'ятках, але з ним теж все добре). Це означає, що наша вихідна нумерація не містила, тобто ніякому номеру не було поставлено у відповідність число. Однак ми припустили, що будь-яке число, а значить, і число, в нумерації містилося. Протиріччя.
Або є безліч дійсних чисел, а що тоді робити з кількістю всіх підмножин дійсних чисел?
А безліч всіх підмножин множини дійсних чисел ще потужнішим, ніж саме безліч дійсних чисел, тобто його не можна "перенумерувати" не тільки натуральними числами, але навіть дійсними.