Ортонормированном СИСТЕМА ВЕКТОРІВ - безліч ненульових вектороввекторного простору X зі скалярним добутком. де символи Кронекера = 0 при і = 1 при. О. с. в. наз. повної, якщо для будь-якого fX рядсходітся по нормі до f. Повна О. с. в. наз. базисом простору X. Числа зв. коеф. Фур'є f щодо О. с. в .. Для повної О. с. в. виконано рівність Парсеваля: гільбертовому просторі є сепарабельном (т. е. містить всюди щільне рахункова підмножина) тоді і тільки тоді, коли в ньому існує повна О. с. в.
Для будь-якої лінійно незалежної системи векторів aj> сепарабельного гильбертова простору можна побудувати базис bj>. Процес побудови О. с. в. наз. ортогоналязаціей системи aj>, він застосуємо до кінцевої і до лічильної системі векторів: bl = a1.
Нормуючи отриману систему bj>, отримаємо шукану О. с. в. Др. джерелом О. с. в. є ермітовим лінійні оператори. т. к. собств. вектори ермітовим оператора, відповідні разл. собств. значенням, ортогональні. Тому для кожного ермітовим оператора існує О. с. в. що складається з його власної. векторів.
Важливий приклад О. с. в. - базис гильбертова простору l 2. складається з векторів х виду.
де. Т. к. Будь сепарабельное гільбертовому просторі ізоморфно або конечномерного евклидову простору. або простору l 2. для О. с. в. l 2 виконані ті ж властивості, що і для ортогональної системи функцій.