Дійсно, в минулому столітті французькі фізики Дюлонг і Пті (1819 г.) дослідним шляхом встановили, що теплоємність всіх твердих тіл не залежить від температури і приблизно дорівнює 25 Дж / (моль × К). Це твердження носить назву закону Дюлонга і Пті. Подальші дослідження показали, що теплоємність твердих тіл не залежить від температури тільки в області високих температур (Т ³ 300 К) і зменшується з пониженням температури Т (рис. 1.4). З позиції класичної теорії можна пояснити залежність теплоємності від температури.
100 200 300 400 500 T, К
Теорія теплоємності кристалічних тіл була створена А. Ейнштейном в 1907 році. Основні положення теорії базувалися на моделі твердого тіла, по якій решітка з N атомів ототожнювалася з системою N гармонійних квантових осциляторів, хто вагається з однаковою частотойw. Теплове коливання, як і будь-яке гармонійнеколивання, можна розкласти на два поперечних і один поздовжній. При певній температурі в кристалі встановлюється система 3N коливань. Ці коливання, досягнувши поверхні кристала, відбиваються від неї і утворюють стоячі хвилі, пов'язані з розміром кристала і його пружними властивостями. Число незалежних стоячих хвиль в твердому тілі одно 3N. Далі Ейнштейн вважав, що енергія коливального руху осциляторів, відповідно до гіпотези Планка, квантуется (e = n ħw). Для теплоємності Ейнштейн отримав формулу.
яка описувала експериментальний графік С (Т) аж до найнижчих температур. В області абсолютного нуля формула (1.1) мала розбіжність з експериментом.
Розглянемо два граничних випадки формули (1.1).
1). kT >> ħw (високі температури). В цьому випадку можна експоненту розкласти в ряд в знаменнику, а в чисельнику. В результаті виходить значення С = 3R, що відповідає закону Дюлонга і Пті.
2). kT <<ħw (низкие температуры). В этом случае можно пренебречь единицей в знаменателе, и формула для теплоёмкости принимает следующий вид:
Множник exp (-ħw / kT) змінюється набагато швидше, ніж Т 2. Тому при наближенні до абсолютного нуля теплоємність буде зменшуватися за експоненціальним законом. Досвід же показує, що поблизу абсолютного нуля теплоємність убуває за законом Т 3. Отже, теорія Ейнштейна не давала правильного ходу теплоємності при найнижчих температурах. Кількісного згоди з досвідом вдалося досягти Деба, який продовжив теорію Ейнштейна про подання теплового руху атомів у вигляді 3N стоячих хвиль, але врахував, що коливання атомів не є незалежними, тому осцилятори коливаються з різними частотами. Діапазон частот цих хвиль широкий: w = (10 2 - 10 13) Гц. Швидкість поширення теплових хвиль дорівнює швидкості звуку. Енергія розподіляється між усіма хвилями, але велика частина енергії припадає на короткі хвилі. При низьких температурах основний вклад в теплоємність по теорії Дебая вносять коливання з низькою частотою. Формула Дебая для теплоємності твердих тіл має вигляд:
При дуже низьких температурах теплоємність твердого тіла пропорційна Т 3. Залежність (1.2) відома як "закон кубів Дебая".
Найважливішу роль в теорії Дебая грає поняття характеристичної температури (або температури Дебая), яку можна визначити як
де wmax - частота найбільш швидких з 3N коливань. Наприклад, для алмазу Q = 1860 К, для свинцю Q = 90 К, для алюмінію Q = 418 K. Характеристична температура - важливий параметр твердого тіла. При температурі Дебая в твердому тілі збуджується весь спектр коливань, включаючи коливання з максимальною частотою. Тому подальше підвищення температури (Т> Q) не може вже викликати коливань з новими частотами.