При додаванні векторів їх координати складаються а при множенні вектора на число його координати множаться на це число. Записуються ці твердження у вигляді
Далі встановимо як пов'язані координати вектора з координатами його кінців.
Нехай, причому початок вектора точка має координати, а кінець вектора є точка. Тоді координати вектора пов'язані з координатами його кінців наступними співвідношеннями
Нехай і нехай вектор-проекція вектора на вісь сонаправлени з віссю (див. Рис. 22). тоді
так як довжина відрізка на числової осі дорівнює координаті правого кінця мінус координата лівого кінця. якщо вектор
протівонаправлени осі (як на Рис. 23), то
Якщо, то в цьому випадку і тоді отримуємо
Таким чином, при будь-якому розташуванні вектора щодо осей координат його координата дорівнює
Аналогічно доводиться, що
Дано координати кінців вектора:. Знайти координати вектора.
У наступній теоремі наводиться вираз довжини вектора через його координати.
Нехай і - вектор-проекції вектора на осі і, відповідно. Тоді, як показано при доведенні теореми 9, має місце рівність
При цьому, вектори і взаємно перпендикулярні. При складанні цих векторів за правилом трикутника отримуємо прямокутний трикутник (див. Рис. 24).
По теоремі Піфагора маємо
7) Вектори і взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли
Властивості 1, 2, 3, 5 слідують безпосередньо з визначення скалярного твори. Властивість 4 випливає з теореми 10 про проекції суми векторів. дійсно,
Далі з властивостей 4 і 5 отримуємо властивість 6. Маємо
В останніх рівності враховано, що
Розглянемо властивість 7. Якщо вектори і взаємно перпендикулярні, то
де - кут між векторами і і ненульові вектори, то. Звідси і виходить вектори і взаємно перпендикулярні. Таким чином, щоб ненульові вектори і були взаємно перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб виконувалося рівність.
З визначення скалярного твори слід, що якщо і ненульові вектори, то
У свою чергу, знаючи координати векторів, можна знайти скалярний добуток і довжини векторів. Таким чином, знаючи координати векторів, можна знайти косинус кута між векторами, а знаючи косинус можна знайти і сам кут.
Знайти кут між векторами.