формулювання
Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За однією з дверей знаходиться автомобіль. за двома іншими дверима - кози. Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з решти дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?
Набір додаткових умов і відповідних їм ймовірностей наведено в таблиці en: Monty Hall problem # Other host behaviors
Найбільш популярною є завдання з додатковою умовою № 6 з таблиці - учаснику гри заздалегідь відомі наступні правила:
- автомобіль равновероятно розміщений за будь-який з 3 дверей;
- провідний в будь-якому випадку зобов'язаний відкрити двері з козою і запропонувати гравцеві змінити вибір, але тільки не двері, яку вибрав гравець;
- якщо у ведучого є вибір, яку з 2 дверей відкрити, він вибирає будь-яку з них з однаковою ймовірністю.
У наведеному нижче тексті обговорюється завдання Монті Холла саме в цьому формулюванні.
При вирішенні цього завдання зазвичай міркують приблизно так: ведучий завжди в підсумку прибирає одну програшну двері, і тоді ймовірність появи автомобіля за двома який відкритими стають рівні 1/2, незалежно від початкового вибору.
Вся суть в тому, що своїм початковим вибором учасник ділить двері: обрана A і дві інші - B і C. Імовірність того, що автомобіль знаходиться за обраною дверима = 1/3, того, що за іншими = 2/3.
Для кожної з решти дверей ситуація, що склалася описується так:
Де 1/2 - умовна ймовірність знаходження автомобіля саме за цією дверима за умови, що автомобіль не за дверима, обраної гравцем.
Ведучий, відкриваючи одну з решти дверей, завжди програшну, повідомляє тим самим гравцеві рівно 1 біт інформації і змінює умовні ймовірності для B і C відповідно на "1" і "0".
В результаті вираження приймають вид:
Таким чином, учаснику слід змінити свій первісний вибір - в цьому випадку ймовірність його виграшу буде дорівнює 2/3.
Одним з найпростіших пояснень є наступне: якщо ви міняєте двері після дій ведучого, то ви виграєте, якщо спочатку вибрали програшну двері (тоді ведучий відкриє другу програшну і вам залишиться поміняти свій вибір щоб перемогти). А спочатку вибрати програшну двері можна 2 способами (ймовірність 2/3), тобто якщо ви міняєте двері, ви виграєте з ймовірністю 2/3.
Цей висновок суперечить інтуїтивного сприйняття ситуації більшістю людей. тому описана задача і називається парадоксом Монті Холла. тобто парадоксом в побутовому сенсі.
А інтуїтивне сприйняття таке: відкриваючи двері з козою, провідний ставить перед гравцем нову задачу, ніяк не пов'язану з попереднім вибором - адже коза за відкритими дверима виявиться незалежно від того, вибрав гравець перед цим козу або автомобіль. Після того, як третя двері відкриті, гравцеві належить зробити вибір заново - і вибрати або ту ж двері, яку він вибрав раніше, або іншу. Тобто, при цьому він не змінює свій попередній вибір, а робить новий. Математичне ж рішення розглядає дві послідовні завдання ведучого, як пов'язані один з одним.
Однак слід брати до уваги той фактор з умови, що ведучий відкриє двері з козою саме з двох, що залишилися, а не двері, обрану гравцем. Отже, що залишилася двері має більше шансів на автомобіль, так як вона не була обрана провідним. Якщо розглянути той випадок, коли ведучий, знаючи, що за обраної гравцем дверима знаходиться коза, все ж відкриє ці двері, цим самим він навмисне зменшить шанси гравця вибрати правильну двері, тому що ймовірність правильного вибору буде вже 1/2. Але подібного роду гра буде вже за іншими правилами.
Дамо ще одне пояснення. Припустимо, що ви граєте за описаною вище системі, тобто з двох, що залишилися дверей ви завжди обираєте двері, відмінну від вашого початкового вибору. В якому випадку ви програєте? Програш настане тоді, і тільки тоді, коли з самого початку ви вибрали двері, за якими знаходиться автомобіль, бо згодом ви неминуче змініть своє рішення на користь двері з козою, у всіх інших випадках ви виграєте, тобто якщо з самого початку помилилися з вибором двері. Але ймовірність з самого початку вибрати двері з козою 2/3, ось і виходить, що для перемоги потрібна помилка, ймовірність якої в два рази більше правильного вибору.
згадки
- У фільмі Двадцять одне викладач, Мікі Роса, пропонує головному герою, Бену, вирішити задачу: за трьома дверима два самоката і один автомобіль, необхідно вгадати двері з автомобілем. Після першого вибору Мікі пропонує змінити вибір. Бен погоджується і математично аргументує своє рішення. Так він мимоволі проходить тест в команду Мікі.
- У романі Сергія Лук'яненка «Недотепа» головні герої за допомогою такого прийому виграють карету і можливість продовжити свою подорож.
- У телесеріалі «4исла» (13 епізод 1 сезону «Man Hunt») один з головних героїв, Чарлі Еппс, на популярній лекції з математики пояснює парадокс Монті Холла, наочно ілюструючи його за допомогою маркерних дощок, на зворотних сторонах яких намальовані кози і автомобіль. Чарлі дійсно знаходить автомобіль, змінивши вибір. Однак слід зазначити, що він проводить лише один експеримент, в той час як перевага стратегії зміни вибору є статистичними, і для коректної ілюстрації слід проводити серію експериментів.
- Парадокс Монті Холла обговорюється в щоденнику героя повісті Марка Хеддона «Дивний випадок із собакою вночі».
- Парадокс Монті Холла перевірявся Руйнівниками Легенд
Дивитися що таке "Парадокс Монті Холла" в інших словниках:
Загадка Монті Холла - У пошуках автомобіля, гравець вибирає двері 1. Тоді ведучий відкриває 3 ю двері, за якими знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити свій вибір на двері 2. Чи варто йому це робити? Парадокс Монті Холла одна з відомих задач теорії ... ... Вікіпедія
Парадокс парі - (Парадокс краваток) відомий парадокс, схожий на завдання про двох конвертах, також демонструє особливості суб'єктивного сприйняття теорії ймовірностей. Суть парадоксу: двоє чоловіків дарують один одному на Різдво краватки, куплені їх ... ... Вікіпедія
Проблема трьох в'язнів - У пошуках автомобіля, гравець вибирає двері 1. Тоді ведучий відкриває 3 ю двері, за якими знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити свій вибір на двері 2. Чи варто йому це робити? Парадокс Монті Холла одна з відомих задач теорії ... ... Вікіпедія
Парадокси - Службовий список статей, створений для координації робіт з розвитку теми. Дане попередження не встановлюється на інформаційні статті списки та глосарії ... Вікіпедія
Завдання про двох конвертах - (Парадокс двох конвертів) відомий парадокс, що демонструє як особливості суб'єктивного сприйняття теорії ймовірностей, так і межі її застосовності. У вигляді двох конвертів цей парадокс постав в кінці 1980 х г ... Вікіпедія
Теорема Байєса - (або формула Байеса) одна з основних теорем теорії ймовірностей, яка дозволяє визначити ймовірність того, що сталося якесь небудь подія (гіпотеза) при наявності лише непрямих підтверджень (даних), які можуть бути неточні ... Вікіпедія
Теорія ймовірностей - Графік щільності ймовірності нормального розподілу однієї з найважливіших функцій, що вивчаються в рамках теорії ймовірностей ... Вікіпедія
- Парадокс Монті Холла. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Парадокс Монті Холла - одна з відомих задач теорії ... Детальніше Купити за 998 руб
- Математика для гиків. Роузен Рафаель. Можливо, вам здавалося, що ви далекі від математики, а все, що ви винесли зі школи, - це «Піфагороі штани всі сторони рівні». Якщо ви завжди думали, що математика вам не знадобиться, ... Детальніше Купити за 529 руб
- Математика для гиків. Роузен, Рафаель. Можливо, вам здавалося, що ви далекі від математики, а все, що ви винесли зі школи, - це «Піфагороі штани всі сторони рівні». Якщо ви завжди думали, що математика вам не знадобиться, ... Детальніше Купити за 425 руб