Парадокс Монті Холла
Парадокс Монті Холла - одна з відомих задач теорії ймовірностей, рішення якої, суперечить здоровому глузду.
Завдання формулюється як опис гіпотетичної гри,
заснованої на американському телешоу «Let's Make a Deal», і названа на честь провідного цієї передачі.
Найбільш поширена формулювання цього завдання:
Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей.
За однією з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима - кози.
Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з решти дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза.
Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері номер 2.
Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?
Хоча це формулювання завдання є найбільш відомою, вона кілька проблематична, оскільки залишає деякі важливі умови задачі невизначеними.
При вирішенні цього завдання зазвичай міркують приблизно так:
після того, як ведучий відкрив двері, за якими знаходиться коза, автомобіль може бути тільки за однієї з двох, що залишилися дверей.
Оскільки гравець не може отримати ніякої додаткової інформації про те, за який дверима знаходиться автомобіль, то ймовірність знаходження автомобіля за кожною з дверей однакова, і зміна початкового вибору двері не дає гравцеві ніяких переваг. Однак такий хід міркувань невірний.
Якщо ведучий завжди знає, за який дверима що знаходиться, завжди відкриває ту з решти дверей, за якою знаходиться коза, і завжди пропонує гравцеві змінити свій вибір, то ймовірність того, що автомобіль знаходиться за обраною гравцем дверима, дорівнює 1/3, і, відповідно, ймовірність того, що автомобіль знаходиться за залишилася дверима, дорівнює 2/3.
Таким чином, зміна початкового вибору збільшує шанси гравця виграти автомобіль в 2 рази.
Цей висновок суперечить інтуїтивного сприйняття ситуації більшістю людей, тому описана задача і називається парадоксом Монті Холла.
Правильною відповіддю до цього завдання є наступне:
да, шанси виграти автомобіль збільшуються в 2 рази, якщо гравець буде діяти за порадою провідного і змінить свій первісний вибір.
Найбільш просте пояснення цієї відповіді полягає в наступному міркуванні.
Для того, щоб виграти автомобіль без зміни вибору, гравець повинен відразу вгадати двері, за якими стоїть автомобіль.
Така ймовірність дорівнює 1/3. Якщо ж гравець спочатку потрапляє на двері, за якими стоїть коза (а ймовірність цієї події 2/3, оскільки є дві кози і лише один автомобіль), то він може однозначно виграти автомобіль, змінивши своє рішення, так як залишаються автомобіль і одна коза, а двері з козою провідний вже відкрив.
Таким чином, без зміни вибору гравець залишається при своїй первісній ймовірності виграшу 1/3, а при зміні початкового вибору, гравець обертає собі на користь в два рази більшу залишилася ймовірність того, що на початку він не вгадав.
Також інтуїтивно зрозуміле пояснення можна зробити, помінявши місцями дві події.
Перша подія - прийняття рішення гравцем про зміну двері, друга подія - відкриття зайвої двері.
Це допустимо, тому що відкриття зайвої двері не дає гравцеві ніякої нової інформації.
Тоді задачу можна звести до такого формулювання.
У перший момент часу гравець ділить двері на дві групи: в першій групі одні двері (та що він вибрав), у другій групі дві що залишилися двері.
В наступний момент часу гравець робить вибір між групами.
Очевидно, що для першої групи ймовірність виграшу 1/3, для другої групи 2/3.
Гравець вибирає другу групу. У другій групі він може відкрити обидві двері.
Одну відкриває провідний, а другу сам гравець.
Нарешті, саме «наївне» доказ.
Нехай той, хто стоїть на своєму виборі, називається «Впертим», а той, хто виконує вказівки ведучого, зветься «Уважним».
Тоді Упертий виграє, якщо він спочатку вгадав автомобіль (1/3), а Уважний - якщо він спочатку не влучив і потрапив на козу (2/3).
Адже тільки в цьому випадку він потім вкаже на двері з автомобілем.